Algèbre. Le grand combat

Un livre de plus de 1100 pages pour couvrir toute l'algèbre de licence et de Master I. Les chapitres classiques sur les groupes, anneaux et corps sont abordés de façon exhaustive et originale. Une place importante est consacrée à l'algèbre linéaire, aux matrices à coefficients dans un anneau et à l'arithmétique de base. Le dernier quart du livre concerne l'étude de la théorie de Galois et des représentations linéaires des groupes finis. De très nombreux exercices. Un livre appelé à concurrencer les ouvrages classiques d'algèbre fondamentale, publiés en France et à l'étranger.

Malgré la place de choix accordée à la théorie des modules dans l'oeuvre de Bourbaki, les modules restent encore de nos jours un épouvantail pour beaucoup d'étudiants et peut-être aussi pour nombre de leurs professeurs. Ces objets, qui sont à juste titre plus compliqués que les espaces vectoriels, ne manquent pourtant pas de charme et s'avèrent dans la pratique d'une efficacité sans pareille. Faut-il pour cela les introduire courageusement dès la licence ou surseoir à cela jusqu'au master? L'auteur du présent ouvrage fait oeuvre de démystificateur, en ôtant à ces objets tout leur aspect insolite ou déroutant. Sans renoncer à aller au plus près des énoncés et de leurs démonstrations, Grégory Berhuy nous prend par la main, fait les vérifications que beaucoup d'auteurs laissent "soigneusement" à la sagacité des lecteurs et finit par rendre ces objets aussi familiers qu'un groupe ou qu'un anneau. Mais, il ne s'arrête évidemment pas là, puisqu'il nous montre comment, une fois maîtrisée, la théorie des A-modules de type fini, pour A anneau principal, règle leur sort à bien des problèmes réputés difficiles, comme la réduction des endomorphismes ou l'étude des réseaux. Ce cours introductif traite surtout le cas des A-modules, où A est un anneau commutatif; dès lors, une montée en niveau nous mène naturellement vers la théorie algébrique des nombres, notamment vers l'examen des anneaux d'entiers de corps de nombres, où le langage des modules offre le cadre le plus opportun pour appréhender les notions d'idéal fractionnaire et de factorisation dans les anneaux de Dedekind. De même que l'on saisit pleinement la notion abstraite de groupe en le faisant opérer diversement sur des ensembles ou mieux sur des espaces vectoriels, la démarche analogue pour saisir ce qu'est un anneau consiste à le faire vivre dans l'anneau des endomorphismes de divers groupes abéliens. C'est tout simplement cela les A-modules. Et cette chose, si naturelle, s'avère d'une fécondité époustouflante.. D'aucuns évoquent d'initier les adolescents à la topologie dès le collège, alors pourquoi ne ferait-on pas autant pour les modules dès le lycée?

Ce livre traite de la théorie des modules, chapitre fondamental du M1 d'algèbre dans les programmes universitaires. Ce cours introductif traite surtout le cas des A-modules, où A est un anneau commutatif ; dès lors, une montée en niveau nous mène naturellement vers la théorie algébrique des nombres, notamment vers l'examen des anneaux d'entiers de corps de nombres, où le langage des modules offre le cadre le plus opportun pour appréhender les notions d'idéal fractionnaire et de factorisation dans les anneaux de Dedekind.

Toujours épuisé, toujours recherché, et désormais dans sa troisième édition, le cours d'algèbre de Grégory Berhuy s'est imposé comme un classique incontournable. Sous sa couverture désormais familière, l'ouvrage, toujours ciselé, toujours affuté gagne ici en ampleur. Il convient de rappeler, avec un certain empressement, que ce livre n'est ni un patchwork d'auteurs ni une compilation à plusieurs mains, mais bien le fruit d'une longue expérience et d'une réflexion pédagogique mûrie au fil des années par le même mathématicien. Le souffle qui l'anime est unique, et sa lecture, un véritable plaisir. L'algèbre, pilier central de la formation mathématique, peut susciter des élans d'enthousiasme aussi bien que de sérieuses sueurs froides. Elle s'étend sur un territoire aux frontières parfois floues, englobant l'algèbre linéaire, la théorie des groupes, des anneaux, des corps, et, plus largement, l'étude des structures. Quelques incursions du côté de l'effectivité, réduction de Gauss, algorithme d'Euclide, polynômes symétriques, codes Wi-Fi, rappellent que l'algèbre n'est pas qu'un jeu d'esprit, mais qu'elle sait aussi se rendre utile, notamment dans les sciences de l'ingénieur. C'est dire s'il est crucial d'apprendre cette matière sur des bases solides, afin d'aborder la suite du parcours mathématique avec confiance. Ce livre offre à ses lecteurs bien plus qu'un cours : un itinéraire clair et rigoureux, jalonné avec soin, où l'on avance d'un pas sûr et parfois même léger. Parvenu à ce que certains appelleraient " la pleine maturité intellectuelle", l'auteur du Grand combat nous livre ici une somme originale, écrite avec la patience du pédagogue, l'exigence du mathématicien, et une volonté constante de faire comprendre. Fidèle à la réputation qu'il s'est taillée dans les amphithéâtres comme dans les rayons des librairies, il signe ici une couvre marquante, dont le style - limpide, précis, parfois malicieusement ironique - pourrait bien servir de référence à ses pairs.