Algèbre : le grand combat. Cours et exercices, 3e édition revue et augmentée

Un livre de plus de 1100 pages pour couvrir toute l'algèbre de licence et de Master I. Les chapitres classiques sur les groupes, anneaux et corps sont abordés de façon exhaustive et originale. Une place importante est consacrée à l'algèbre linéaire, aux matrices à coefficients dans un anneau et à l'arithmétique de base. Le dernier quart du livre concerne l'étude de la théorie de Galois et des représentations linéaires des groupes finis. De très nombreux exercices. Un livre appelé à concurrencer les ouvrages classiques d'algèbre fondamentale, publiés en France et à l'étranger.

Malgré la place de choix accordée à la théorie des modules dans l'oeuvre de Bourbaki, les modules restent encore de nos jours un épouvantail pour beaucoup d'étudiants et peut-être aussi pour nombre de leurs professeurs. Ces objets, qui sont à juste titre plus compliqués que les espaces vectoriels, ne manquent pourtant pas de charme et s'avèrent dans la pratique d'une efficacité sans pareille. Faut-il pour cela les introduire courageusement dès la licence ou surseoir à cela jusqu'au master? L'auteur du présent ouvrage fait oeuvre de démystificateur, en ôtant à ces objets tout leur aspect insolite ou déroutant. Sans renoncer à aller au plus près des énoncés et de leurs démonstrations, Grégory Berhuy nous prend par la main, fait les vérifications que beaucoup d'auteurs laissent "soigneusement" à la sagacité des lecteurs et finit par rendre ces objets aussi familiers qu'un groupe ou qu'un anneau. Mais, il ne s'arrête évidemment pas là, puisqu'il nous montre comment, une fois maîtrisée, la théorie des A-modules de type fini, pour A anneau principal, règle leur sort à bien des problèmes réputés difficiles, comme la réduction des endomorphismes ou l'étude des réseaux. Ce cours introductif traite surtout le cas des A-modules, où A est un anneau commutatif; dès lors, une montée en niveau nous mène naturellement vers la théorie algébrique des nombres, notamment vers l'examen des anneaux d'entiers de corps de nombres, où le langage des modules offre le cadre le plus opportun pour appréhender les notions d'idéal fractionnaire et de factorisation dans les anneaux de Dedekind. De même que l'on saisit pleinement la notion abstraite de groupe en le faisant opérer diversement sur des ensembles ou mieux sur des espaces vectoriels, la démarche analogue pour saisir ce qu'est un anneau consiste à le faire vivre dans l'anneau des endomorphismes de divers groupes abéliens. C'est tout simplement cela les A-modules. Et cette chose, si naturelle, s'avère d'une fécondité époustouflante.. D'aucuns évoquent d'initier les adolescents à la topologie dès le collège, alors pourquoi ne ferait-on pas autant pour les modules dès le lycée?

Le cours d'algèbre de licence est au coeur de la formation mathématique de l'étudiant, et constitue pour bon nombre un lieu de grand bonheur et pour d'autres une barrière dont le franchissement ne se fait pas sans souffrances. La matière, aux limites pas toujours très bien définies, couvre évidemment l'algèbre linéaire, la théorie des groupes, celle des anneaux et des corps, et plus généralement l'étude des structures. L'aspect effectif se niche ici ou là à l'occasion de la réduction de Gauss, de l'algorithme d'Euclide ou de l'étude des polynômes symétriques... Les applications débordent vers d'autres branches que celles proprement mathématiques, notamment vers les sciences de l'ingénieur. C'est dire combien il est important que l'apprentissage de l'algèbre se fasse sur de solides fondations, et permette à l'étudiant d'affronter sa formation ultérieure en toute confiance. Le présent ouvrage se propose d'offrir à ses divers lecteurs assurance et délectation à la fois, mais aussi la promesse d'avancer sur un terrain ferme et bien balisé. L'auteur, qui arrive à la force de l'âge, nous offre ici une somme originale, écrite avec patience, clarté et un réel souci de faire comprendre. Fidèle à la réputation qu'il s'est forgée à travers ses cours et ses ouvrages, Grégory Berhuy marque avec ce livre une époque, et révèle par son style un mode d'écriture susceptible de servir de modèle à ses contemporains. Le texte, qui rassemble plus de cinq cent cinquante exercices, simples applications du cours ou sources de développements et d'éclairages, s'avérera également très utile aux candidats au CAPES et à l'Agrégation. L'auteur a pris le soin d'indiquer à ses lecteurs diverses pistes d'apprentissage possibles, adaptées à leur niveau.