Algèbre commutative, méthodes constructives. Modules projectifs de type fini - Cours et exercices, E

L'épistémologie est la philosophie des sciences. L'épistémologie mathématique a pour but de réfléchir à ce que l'on fait vraiment quand on fait des mathématiques, et d'analyser le rapport entre cette pratique et la pratique des autres sciences. Les mathématiques ont une histoire, et leur histoire est toujours en cours. Aussi cet ouvrage se propose d'éclairer par l'histoire les questions soulevées. Ce cours propose une première étude de quelques questions essentielles. Qu'est-ce qu'un objet mathématique: un nombre entier, un nombre réel, une fonction réelle, un espace vectoriel, un espace de fonctions, un objet de nature géométrique? Qu'est-ce qu'un énoncé concernant un objet mathématique? Quelles méthodes de raisonnement sont-elles vraiment légitimes? Quelle est la nature de l'infini mathématique? Qu'est-ce que la méthode formaliste en mathématiques? Quelles limites le théorème d'incomplétude de Gödel impose-t-il au formalisme? Ces questions sont abordées sous divers angles: des cours proprement dits; des analyses de preuve; des commentaires de textes historiques. Cet ouvrage s'adresse aux étudiants en sciences en fin de licence, et aux enseignants de sciences en lycée ou à l'université. Il ne réclame pas de connaissances mathématiques sophistiquées et propose plutôt de réfléchir sur les activités mathématiques de base, en prenant un peu de recul par rapport à la vérité révélée telle qu'elle est usuellement enseignée.

Fruit d'une collaboration de plus de dix ans entre deux spécialistes confirmés du domaine, ce grand traité d'algèbre commutative est sans équivalent dans la littérature mathématique. Ses auteurs, Henri Lombardi et Claude Quitté, y adoptent résolument le point de vue constructif, aujourd'hui prégnant en mathématiques. Ils privilégient les résultats explicites, si bien que tous les théorèmes proposés ont un contenu algorithmique. Plusieurs théories classiques "abstraites" sont ainsi revisitées, avec un éclairage nouveau qui en facilite l'accès. C'est le cas par exemple de la théorie de Galois, des anneaux de Dedekind, des modules projectifs de type fini ou de la théorie de la dimension de Krull, qui dans leur cadre classique ne laissent pas entrevoir un contenu algorithmique. Avec un millier de pages écrites dans un style alerte et précis et un peu plus de 320 exercices et problèmes, le plus souvent accompagnés de solutions, cet ouvrage monumental fera date et deviendra rapidement une référence incontournable. Sa publication chez les éditions Calvage & Mounet constitue un véritable événement éditorial et souligne le rôle de plus en plus reconnu de l'aspect effectif dans le développement des mathématiques contemporaines. L'ouvrage s'adresse en priorité aux étudiants et enseignants en M1 et M2. II intéressera également les informaticiens théoriciens et les spécialistes en calcul formel. Enfin, les agrégatifs curieux y trouveront un nombre considérable d'idées nouvelles pour leurs leçons d'oral.