Algèbre commutative, Méthodes constructives. Modules projectifs de type fini, Cours et exercices

L'épistémologie est la philosophie des sciences. L'épistémologie mathématique a pour but de réfléchir à ce que l'on fait vraiment quand on fait des mathématiques, et d'analyser le rapport entre cette pratique et la pratique des autres sciences. Les mathématiques ont une histoire, et leur histoire est toujours en cours. Aussi cet ouvrage se propose d'éclairer par l'histoire les questions soulevées. Ce cours propose une première étude de quelques questions essentielles. Qu'est-ce qu'un objet mathématique: un nombre entier, un nombre réel, une fonction réelle, un espace vectoriel, un espace de fonctions, un objet de nature géométrique? Qu'est-ce qu'un énoncé concernant un objet mathématique? Quelles méthodes de raisonnement sont-elles vraiment légitimes? Quelle est la nature de l'infini mathématique? Qu'est-ce que la méthode formaliste en mathématiques? Quelles limites le théorème d'incomplétude de Gödel impose-t-il au formalisme? Ces questions sont abordées sous divers angles: des cours proprement dits; des analyses de preuve; des commentaires de textes historiques. Cet ouvrage s'adresse aux étudiants en sciences en fin de licence, et aux enseignants de sciences en lycée ou à l'université. Il ne réclame pas de connaissances mathématiques sophistiquées et propose plutôt de réfléchir sur les activités mathématiques de base, en prenant un peu de recul par rapport à la vérité révélée telle qu'elle est usuellement enseignée.

Cet ouvrage est un cours d'introduction à l'algèbre commutative de base. Il est écrit selon le point de vue constructif. Tous les résultats ont un contenu calculatoire clair. Un regard nouveau et souvent simplificateur est porté sur plusieurs théories classiques, en particulier sur certaines qui n'ont pas de contenu algorithmique dans leur cadre naturel le plus général, comme la théorie de Galois, celle des modules projectifs de type fini, celle des anneaux de Dedekind ou celle de la dimension de Krull. Cours et Exercices 322 exercices et 50 problèmes, la plupart corrigés

Réservée autrefois aux spécialistes, la théorie des modules a fini par convaincre les plus hésitants par son efficacité et, au fond, par sa simplicité. Raisonner en termes de modules c'est donner aux éléments de l'anneau un premier souffle de vie, un peu comme on fait avec les éléments d'un groupe quand on le fait agir. Mais, au delà de cet acte averti, cette théorie s'est imposée par la portée unifiante de ses méthodes et de ses résultats. Le présent livre est un cours d'algèbre pour le Master 1, consacré précisément à la théorie des modules sur les anneaux commutatifs. La première partie traite le cas des modules de présentation finie sur les anneaux principaux. Avec de belles applications à la solution des systèmes linéaires à coefficients entiers et à la structure des endomorphismes des espaces vectoriels de dimension finie, cette première partie s'avérera un outil précieux pour la préparation à l'agrégation. La deuxième partie approfondit les notions développées dans la première, en traitant notamment les modules de présentation finie sur les anneaux d'entiers de corps de nombres, et, plus généralement, sur les anneaux de dimension 0 ou 1. L'algèbre dans la tradition d'al-Khwarismi, Viète, Gauss, Galois, Bezout, Kummer et Kronecker est une science de nature algorithmique. Dans ce traité d'algèbre moderne, les auteurs se situent dans cette tradition et adoptent le point de vue constructif, pour lequel tous les théorèmes d'existence ont un contenu algorithmique explicite. En particulier, lorsqu'un théorème affirme l'existence d'un objet, solution du problème donné en hypothèse, un algorithme de construction de l'objet peut toujours être extrait de la démonstration qui en est donnée. En ce sens, cet ouvrage est entièrement original, sans équivalent dans la littérature contemporaine. Les cent quatre-vingt-sept exercices, tous corrigés, permettront aux lecteurs de se convaincre de l'efficacité du point de vue constructif, tout en apportant parfois de précieux compléments au cours proprement dit. L'ouvrage ne réclame comme prérequis que les notions de base concernant la théorie des groupes, l'algèbre linéaire sur les corps et la théorie des déterminants.