Initiation à la géométrie de Riemann

133 exercices et leurs corrigés détaillés, commentés, illustrés de 190 croquis, sont proposés au lecteur (qui n'en demandait pas tant...) dans cette troisième édition, revue et corrigée. C'est avant tout par la pratique d'exemples, de difficulté variée, que ce livre aborde l'étude du calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables. Ecrit à l'intention des étudiants en licence de mathématiques, des candidats à l'agrégation ou aux concours d'entrée aux grandes écoles scientifiques, il leur offre aussi un panorama commenté du cours, nombre de remarques heuristiques, en insistant notamment sur les liens étroits du calcul différentiel avec la géométrie (courbes et surfaces), ou avec certaines questions de la mécanique ou de la physique.

Comment reconstruire une fonction connaissant ses intégrales sur toutes les droites ? Issu d'un court article de Johann Radon, paru en 1917 mais tombé dans l'oubli pendant une cinquantaine d'années, le thème de ce livre a connu et connaît toujours un grand regain d'intérêt, sous une double impulsion. D'une part ses applications, enfin reconnues, à l'imagerie médicale (tomographie aux rayons X, scanner) et à différents domaines de la physique ont stimulé la recherche, d'autre part d'importantes avancées dans les méthodes mathématiques utilisées ont apporté des résultats significatifs. Ce livre est une version développée et mise à jour d'un cours donné aux étudiants du master de mathématiques à Nice. Il présente au fil des chapitres une approche progressive de différentes méthodes utilisées pour reconstruire une fonction à partir de sa transformée de Radon, dans des cadres géométriques de plus en plus larges allant des droites du plan jusqu'à des variétés différentielles générales.

La littérature en langue française est assez peu fournie sur le sujet. L'auteur propose une approche progressive du sujet en partant du cas des surfaces, où le support de la vision géométrique (avec de nombreuses figures) aide à apprivoiser la notion de métrique et celles, plus délicates, de dérivée covariante, géodésique, courbure. Les motivations apparaissent ainsi plus clairement lors du passage à la dimension n et à ses définitions inévitablement plus abstraites.