Initiation à la géométrie de Riemann

Peut-on vraiment marcher tout droit sur une surface courbe, celle de la Terre par exemple ? Quel est le plus court chemin d'un point à un autre ? A ces questions on ne peut apporter de réponse que par une compréhension approfondie des mots "tout droit" (notion de géodésique) et "courbe" (notion de courbure). C'est l'objet du présent ouvrage. Dans sa première partie, l'étude est conduite dans le cas des surfaces où, à la suite de Gauss, ces notions peuvent être introduites de plusieurs points de vue et aisément illustrées. Dans la deuxième partie, motivée par la première mais indépendante, l'étude est étendue, à la suite de Riemann, à une variété de dimension quelconque. En y expliquant les notions générales de géodésique et de tenseur de courbure, le texte ouvre la voie à des études plus avancées ainsi qu'aux applications en physique théorique. Le dernier chapitre détaille deux exemples importants, la géométrie sphérique et la géométrie hyperbolique. L'auteur s'est attaché à insister, par de nombreux commentaires et remarques, sur les motivations de chaque notion nouvelle. Plus de soixante-dix exercices permettront aux lecteurs de tester leur progression. La dernière partie du livre présente un corrigé détaillé de chacun d'entre eux.