Exercices d'analyse. Corrigés et commentés, classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques,

Comment savoir si un nombre entier est composé ou premier, et dans le cas où il est composé, comment obtenir sa factorisation primaire ...Ces questions essentielles de la théorie des nombres sont au centre des préoccupations de tous ceux qui étudient une discipline frontière entre les mathématiques et l'informatique : la cryptologie.Science des écritures secrètes, elle utilise des protocoles mathématiques nécessitant une connaissance approfondie en algèbre : groupes, anneaux, corps finis, fractions continues, courbes elliptiques, mais aussi en algorithmique : tests de primalité, algorithmes de factorisation.Puissamment aidés par l'ordinateur et la très grande qualité de leurs travaux, les mathématiciens ont permis à la cryptologie moderne, « moteur de la théorie des nombres », d'acquérir des lettres de noblesse incontestables que cet ouvrage souhaite faire partager au public scientifique le plus large possible : étudiants en Classes Préparatoires, étudiants, candidats au CAPES ou à l'Agrégation, ingénieurs, enseignants.Table des matières IntroductionCHAPITRE 1 Les groupesCHAPITRE 2 Anneaux et corps; Corps finisCHAPITRE 3 Anneaux Z et K[X] - Résiduosité quadratiqueCHAPITRE 4 Algorithmes - ComplexitésCHAPITRE 5 Les deux grands cryptosystèmes à clé publique: le RSA et le cryptosystème El-GamalCHAPITRE 6 Cryptanalyse du RSACHAPITRE 7 Cryptosystème El-Gamal dans (Kn', ∗)où ∗ est la loi de convolution, Kn étant un corps fini ayant q éléments et n un entier, n ≥ 2CHAPITRE 8 Les courbes elliptiquesCHAPITRE 9 Chapitre de conclusionAnnexe : Philosophie du cryptosystème du chapitre 7PostfaceIndex

Cet ouvrage de cours et d'exercices d'analyse concernant les équations différentielles rassemble le travail effectué en classe de mathématiques spéciales MP pendant de nombreuses années à partir de sujets proposés tant à l'écrit qu'aux oraux des concours d'entrée dans les grandes écoles scientifiques. Son objectif, conforme à celui du programme, consiste à étudier et à illustrer, par de nombreux exercices, les systèmes différentiels linéaires ainsi que les systèmes dynamiques continus, en liaison aussi souvent que possible avec les systèmes mécaniques, électriques, ou du vivant, gouvernés par une loi d'évolution et des conditions initiales imposées. C'est la raison pour laquelle ce recueil a été élaboré à partir des quatre chapitres suivants : Chapitre 1 : Cours et généralités sur les équations différentielles. Chapitre 2 : Exercices concernant les systèmes différentiels linéaires et les équations différentielles scalaires. Chapitre 3 : Exercices concernant le cas non linéaire et surtout les systèmes autonomes. Chapitre 4 : 2quations différentielles et conditions aux limites : exemples et problème de Stum-Liouville. Les chapitres 2, 3 et 4, sont consacrés aux exercices fournissant plus de 150 sujets entièrement résolus.

Résumé : Cet ouvrage d'exercices et problèmes corrigés et commentés d'algèbre et de calcul intégral est divisé en trois grandes parties. La première est consacrée essentiellement à l'algèbre linéaire, bilinéaire et hermitienne en dimension finie et fournit également quelques notions élémentaires d'arithmétique usuellement enseignées en classe de mathématiques spéciales. La deuxième illustre une rubrique fort importante de tous les cours de mathématiques : l'intégration ; nous l'avons divisée en quatre chapitres : initiation au calcul intégral, calcul d'intégrales classiques, calcul fonctionnel et calcul intégral et enfin fonctions définies par des intégrales. Cette partie tient très largement compte - nolens, volens - de la nécessité de l'introduction des fonctions sommables et de l'outil irremplaçable qu'est le théorème de la convergence dominée de Lebesgue et se termine par une étude élémentaire assez détaillée de la transformée de Fourier en liaison avec l'aspect algébrique de la chose. La troisième et dernière partie est consacrée presque essentiellement à quelques problèmes d'analyse fonctionnelle, suivis de commentaires, où l'aspect algébrique des choses est souligné avec d'autant plus de vigueur qu'il est l'aboutissement de l'esprit dans lequel l'auteur a rédigé cet ouvrage afin de montrer la fécondité et la richesse de l'imbrication étroite de l'Algèbre et de l'Analyse que le lecteur attentif aura déjà rencontrées dans la première partie à propos, par exemple, de l'équation matricielle de Liapounov.