Exercices d'algèbre et d'analyse. Corrigés et commentés

Comment savoir si un nombre entier est composé ou premier, et dans le cas où il est composé, comment obtenir sa factorisation primaire ...Ces questions essentielles de la théorie des nombres sont au centre des préoccupations de tous ceux qui étudient une discipline frontière entre les mathématiques et l'informatique : la cryptologie.Science des écritures secrètes, elle utilise des protocoles mathématiques nécessitant une connaissance approfondie en algèbre : groupes, anneaux, corps finis, fractions continues, courbes elliptiques, mais aussi en algorithmique : tests de primalité, algorithmes de factorisation.Puissamment aidés par l'ordinateur et la très grande qualité de leurs travaux, les mathématiciens ont permis à la cryptologie moderne, « moteur de la théorie des nombres », d'acquérir des lettres de noblesse incontestables que cet ouvrage souhaite faire partager au public scientifique le plus large possible : étudiants en Classes Préparatoires, étudiants, candidats au CAPES ou à l'Agrégation, ingénieurs, enseignants.Table des matières IntroductionCHAPITRE 1 Les groupesCHAPITRE 2 Anneaux et corps; Corps finisCHAPITRE 3 Anneaux Z et K[X] - Résiduosité quadratiqueCHAPITRE 4 Algorithmes - ComplexitésCHAPITRE 5 Les deux grands cryptosystèmes à clé publique: le RSA et le cryptosystème El-GamalCHAPITRE 6 Cryptanalyse du RSACHAPITRE 7 Cryptosystème El-Gamal dans (Kn', ∗)où ∗ est la loi de convolution, Kn étant un corps fini ayant q éléments et n un entier, n ≥ 2CHAPITRE 8 Les courbes elliptiquesCHAPITRE 9 Chapitre de conclusionAnnexe : Philosophie du cryptosystème du chapitre 7PostfaceIndex

Cet ouvrage de cours et d'exercices d'analyse concernant les équations différentielles rassemble le travail effectué en classe de mathématiques spéciales MP pendant de nombreuses années à partir de sujets proposés tant à l'écrit qu'aux oraux des concours d'entrée dans les grandes écoles scientifiques. Son objectif, conforme à celui du programme, consiste à étudier et à illustrer, par de nombreux exercices, les systèmes différentiels linéaires ainsi que les systèmes dynamiques continus, en liaison aussi souvent que possible avec les systèmes mécaniques, électriques, ou du vivant, gouvernés par une loi d'évolution et des conditions initiales imposées. C'est la raison pour laquelle ce recueil a été élaboré à partir des quatre chapitres suivants : Chapitre 1 : Cours et généralités sur les équations différentielles. Chapitre 2 : Exercices concernant les systèmes différentiels linéaires et les équations différentielles scalaires. Chapitre 3 : Exercices concernant le cas non linéaire et surtout les systèmes autonomes. Chapitre 4 : 2quations différentielles et conditions aux limites : exemples et problème de Stum-Liouville. Les chapitres 2, 3 et 4, sont consacrés aux exercices fournissant plus de 150 sujets entièrement résolus.

Cet ouvrage de Cours et exercices de topologie et d'analyse fonctionnelle et matricielle a été rédigé à partir des exigences du programme et des questions posées aux écrits et aux oraux des concours d'entrée aux Grandes Ecoles : X, ENS, Mines-Ponts ; néanmoins un chapitre est consacré à des compléments concernant les espaces de Baire et leurs applications à l'analyse fonctionnelle, la distance de Hausdorff suivie de l'étude des fractales de Sierpinski, et les normes extrémales de Lie et Hahn-Pflug dans Cn. Les notions essentielles : compacité, complétude, connexité, continuité des applications linéaires et l'aspect fonctionnel des choses qu'elles induisent ont pour objet, dans ce recueil, de montrer que la topologie fournit un cadre universel et cohérent en analyse, sa présentation étant organisée selon les quatre chapitres suivants : Espaces métriques et espaces normés (cours enseigné en Spé MP*), Compléments de topologie et d'analyse fonctionnelle et matricielle, Exercices de topologie et d'analyse fonctionnelle et matricielle, Problèmes de révision extraits des sujets de concours. Dans tout ce recueil, et chaque fois que cela a été possible, certaines rubriques intégralement abordées, notamment au travers des théorèmes de projection orthogonale ou du théorème de Farkas-Minkowski, soulignent le rôle capital de la topologie en analyse numérique matricielle et en optimisation fonctionnelle ; enfin, la beauté géométrique et topologique des fractales de Sierpinski, illustre toute l'importance du théorème du point fixe montrant ainsi, s'il en était besoin, que les sciences mathématiques sont étroitement solidaires.