Convex cones in analysis

Préface de Gilles Godefroy Ce livre traite des espaces de Banach B, ordonnés par un cône convexe fermé X, qui ne sont pas nécessairement réticulés. Le sujet s'est développé grâce aux travaux de G. Krein (1940), V. L. Klee (1955) et T. Ando (1962). Récemment, de nouveaux résultats ont été obtenus qui sont à l'origine de ce livre ; en particulier, on associe à chaque cône convexe X, contenu dans un espace de Banach B, un indice i(X), qui intervient dans divers études : à titre d'exemple l'exploration de certaines propriétés des opérateurs linéaires positifs. De plus, quand X est un cône normal alors l'indice permet de déterminer les espaces lp de dimension finie (de dimension arbitraire) immergés dans B dont les vecteurs de base appartiennent à X. Ce livre est auto-suffisant et compréhensible par des étudiants en Master mathématiques ou toute personne ayant de bonnes connaissances en analyse. This book is devoted to the study of Banach spaces, ordered by a convex cone, which are not necessarily Banach lattices. Basic results were obtained in this domain by G. Krein (1940), V. L. Klee (1955) and T. Ando (1962). After that, the topic was rather dormant during 30 years. But, after this period, new results were obtained, which are the topic of this book ; namely, to every convex cone X, contained in a Banach space B, we associate an index i(X), which is involved in various topics : for example to investigate when every positive linear operator from a C(K) space to B is p-summing. Moreover, when X is a normal cone (roughly speaking, when X is sharp) then this index enables us to provide finite dimensional lp spaces (of arbitrary dimension) embedded in B, whose basic vectors are contained in X. This book is self contained and is understandable by a graduate student having a good knowledge in Analysis.

Cette monographie expose la théorie de la représentation intégrale dans les cônes convexes, due à G. Choquet, et plusieurs de ses applications à l'analyse : théorèmes classiques de Bochner-Weil et de Bernstein, théorème de Choquet-Deny, axiomatiques Brelot et Bauer en théorie du potentiel, résultats de Talagrand sur les mesures et capacités invariantes, et de Royer et Yor sur les mesures quasi -invariantes en théorie des champs. Cette théorie est étudiée également pour son intérêt propre, et ses liens avec des disciplines voisines de l'analyse : étude des zonoformes et des mesures vectorielles, théorie de la décision statistique, cônes biréticulés et structure des cônes normaux dans un Banach. Une maîtrise d'université orientée vers l'analyse suffit pour aborder cette monographie. This monograph is devoted to the theory of integral representation in convex cones, due to G. Choquet, and to several of its applications to analysis: classical theorems of Bochner-Weil and of Bernstein, theorem of Choquet-Deny, axiomatics of Brelot and of Bauer in potential theory, resuits of Talagrand concerning invariant measures and capacities and those of Royer and Yor concerning quasi-invariant measures in field theory. This theory is also studied for itself, and for its relations with other fields close to analysis: zonoforms and vector measures, statistical decision theory, bireticulated cones and normal cones contained in Banach spaces. A university master degree in functional analysis is sufficient to study this monograph.