Quand le christianisme fait son cinéma

Somme prodigieuse sur un chapitre trop souvent ignoré, cet ouvrage sur les formes quadratiques livre au brillant taupin, à l'agrégatif tout comme au mathématicien confirmé un choix impressionnant de sujets et de thèmes en relation avec ce domaine capital. Démarrant avec les fondements, dans un cadre rigoureux et précis, Clément de Seguins Pazzis nous guide, juste après les théorèmes de classification, vers les premières applications géométriques des formes quadratiques que sont l'étude des coniques et des quadriques. Il nous offre au passage une véritable introduction à la géométrie affine et projective et une incursion inattendue du côté de la géométrie différentielle, avec le lemme de Morse et la notion de courbure. L'auteur s'applique ensuite à présenter, pour la première fois en France comme à l'étranger, la théorie des formes quadratiques rationnelles dans une approche relativement élémentaire et progressive, nombreux exemples et applications à l'appui. C'est l'occasion aussi d'une introduction minutieuse aux corps p-adiques et aux théorèmes reliant les passages local/global. L'étude algébrique couvre évidemment les théorèmes de Witt, les formes de Pfister, les algèbres de Clifford et l'examen des groupes orthogonaux et spinoriels, tous aussi chers aux géomètres qu'aux physiciens théoriciens. Cette "invitation aux formes quadratiques" se termine sur une étude approfondie du cas de la caractéristique 2, la plupart du temps méconnu ou escamoté dans les livres sur le sujet. L'ouvrage, illustré par de magnifiques dessins, contient plus de neuf cents exercices et problèmes, ainsi qu'un index extrêmement fourni. Le lecteur en appréciera le style et la finition particulièrement soignés.

Ce recueil de problèmes est consacré à la session d'écrit 2016 des cinq principaux concours de la filière MP, en mathématiques et en informatique (hors option). A une ou deux exceptions près, les épreuves de la session 2016 ont été plus difficiles que celles des années antérieures, et de surcroît plutôt plus longues. Les corrigés détaillés proposés ici sont en quelque sorte exemplaires. Ils contiennent tout ce qui semble nécessaire de mettre sur sa copie le jour du concours et évitent de disserter sur ce qui paraît inutile. Clément de Seguins Pazzis, en effectuant ce travail avec la pédagogie et la rigueur qu'on lui connaît, ne néglige pour autant pas que l'ouvrage offert ici au public est l'occasion pour l'élève de revenir sur les notions du cours, d'y réfléchir de façon approfondie, de combler ses lacunes, voire d'étendre son champ de réflexion. C'est pourquoi des commentaires très complets, ainsi que les énoncés des principaux résultats utilisés, mais aussi une bibliographie étendue, accompagnent les énoncés et leur corrigé. Les dix premiers problèmes, qui couvrent la large partie du texte, sont suivis par deux épreuves d'informatique corrigées par Cyrille Hériveux et Laurent Sartre. Souvent réduite par certains à un ensemble de techniques de programmation, l'informatique est enfin perçue pour ce qu'elle est depuis ses débuts, à savoir une science. Et, force est de constater que les épreuves 2016 marquent une réelle évolution en la matière.

Comme pour 2016, Clément de Seguins Pazzis nous propose pour 2017 les solutions détaillées des épreuves d'écrit des principaux concours d'entrée aux Grandes Ecoles en mathématiques. L'épreuve écrite de mathématiques est un passage obligé et déterminant dans l'admissibilité à tous les concours aux grandes écoles scientifiques (ici, dans la filière MP). Pour la troisième année de mise en oeuvre des nouveaux programmes, il est essentiel pour les enseignants et les étudiants de prendre la mesure de l'évolution des épreuves telle qu'elle apparaît dans la réalité des concours, en s'attaquant aux épreuves effectivement posées. Le but de cet ouvrage est d'en fournir des solutions rédigées avec l'efficacité la plus grande selon le concours et même le type d'épreuve. On se doute en effet que rédiger de manière semblable une solution à un problème de l'X et une solution à un problème des CCP serait un modèle inhabile, voire préjudiciable, pour les candidats. Toujours dans une optique d'efficacité, chaque épreuve est accompagnée de commentaires pédagogiques assez condensés. Les théorèmes utilisés sont clairement énoncés ; des commentaires complets sur chacune des épreuves ainsi qu'une bibliographie étendue sont fournis avec les solutions.

Cet ouvrage s'inscrit dans la série Les Clefs pour, et fait suite aux ouvrages des sessions 2015, puis 2016-2017, consacrés aux oraux ENS-X. Il présente des exercices à la fois originaux et réellement posés lors du concours. Leur solution ne consiste nullement en la présentation d'une astuce, mais déploie au contraire son sens au travers de la mise en oeuvre d'une méthode clairement identifiée et de la prise de recul sur le contexte. C'est donc un outil très efficace de préparation aux concours et de découverte de mathématiques intéressantes.