Optimisation et analyse convexe

L'usage français du verbe « optimiser » nous est arrivé vers le milieu du XIXe siècle d'Angleterre, où to optimize signifiait « se comporter en optimiste » ; on peut donc dire que l'optimiseur est comme l'optimiste qui pense pouvoir toujours mieux faire. Mais ce n'est que dans la deuxième moitié du XXe siècle que les mathématiciens, motivés par les demandes issues des applications, ont été conduits à poser les fondations modernes des « mathématiques du mieux faire », matière principale de ces deux Opuscules (n° 8 et 9) sur l'optimisation et la commande optimale. Ces Premiers pas en optimisation sont destinés à un large public, dans un souci de popularisation des bases mathématiques de l'optimisation vers des domaines utilisateurs partiels, intéressés, ou potentiels : automatique, économie mathématique, analyse numérique, statistique, etc. Dans notre présentation, l'accent a été mis sur les idées davantage que sur les techniques ou généralisations que le lecteur plus intéressé aura tout loisir de développer.

Opuscules se compose de petits ouvrages portant chacun sur des points des programmes des universités et des classes préparatoires. La collection vise la solidité du développement mathématique, en se souciant du développement historique, niveau par niveau, dans des opuscules de références autonomes. Elle se veut sobre, pertinente, destinée aux étudiants, aux candidats des concours et aux esprits curieux des mathématiques. Commander un système physique, mécanique, économique, évoluant avec le temps, de façon à lui faire faire quelque chose de manière optimale (selon divers critères choisis), voila un objectif qui apparaît dans bien des domaines d'applications des sciences de l'ingénieur. Ce n'est que dans la deuxième moitié du XXe siècle que les ingénieurs, automaticiens et mathématiciens, motivés par les demandes issues des applications, ont été conduits à poser les fondations modernes de ce volet des "mathématiques du mieux faire": la théorie de la commande optimale. Cet opuscule La commande optimale pour les débutants est destiné à un large public, dans un souci de popularisation des bases mathématiques de la commande optimale vers des domaines utilisateurs partiels, intéressés, ou potentiels: l'automatique, le spatial, l'économie, la robotique, etc. Notre présentation se borne à une initiation, l'accent est mis sur les idées de base; beaucoup d'exemples d'illustration accompagnent les résultats fondamentaux.

Les équations différentielles sont des outils indispensables en physique, chimie, biologie, économie et en mathématiques. Comme elles ne sont plus enseignées au lycée, ce livre reprend tout à zéro. Il procède par petits pas, qui permettent à tous les étudiants de comprendre avant d'apprendre, en s'appuyant sur des exemples intégrés au fil du texte. Ce cours illustré est le fruit de dizaines d'années d'expérience de l'enseignement à tous les niveaux, aussi bien avant qu'après le bac. L'auteur n'est pas seulement un mathématicien reconnu, il est aussi un pédagogue qui sait se mettre à la portée de tous.

Ce livre est un recueil d'exercices et problèmes corrigés, de difficulté graduée, accompagnés de commentaires sur l'utilisation du résultat obtenu, sur un prolongement possible et, occasionnellement, placés dans un contexte historique. Chaque chapitre débute par des rappels de définitions et résultats du Cours. Le cadre de travail est volontairement simple, l'auteur a voulu insister sur les idées et mécanismes de base davantage que sur des généralisations possibles ou des techniques particulières à telle ou telle situation. Les connaissances mathématiques requises pour tirer profit du recueil ont été maintenues minimales, celles normalement acquises à Bac+3 (ou Bac+2 suivant les cas). L'approche retenue pour avancer est celle d'une progression en spirale plutôt que linéaire au sens strict. Pour ce qui est de l'enseignement, les aspects de l'optimisation et analyse convexe traités dans cet ouvrage trouvent leur place dans les formations de niveau M1, parfois L3, (modules généralistes ou professionnalisés) et dans la formation mathématique des ingénieurs (en 2e année d'école, parfois en 1re année). La connaissance de ces aspects est un préalable à des formations plus en aval, en optimisation numérique par exemple. Biographie de l'auteur Jean-Baptiste Hiriart-Urruty est Professeur à l'université Paul Sabatier de Toulouse. Ses domaines d'intérêt en recherche mathématique sont l'analyse variationnelle (convexe, non lisse, appliquée) et l'optimisation (non convexe, globale).