Les mathématiques, mode emploi

Les nombres ont quelque chose de fascinant. Avant même de savoir s'en servir pour mesurer les phénomènes naturels et les maîtriser, les plus anciennes civilisations ont cherché dans leurs propriétés la solution des grandes énigmes de l'univers et le secret des destinées humaines. Ce livre nous raconte l'histoire de la découverte progressive de ces propriétés, depuis l'origine du calcul jusqu'aux questions les plus récentes: peut-on concevoir un automate qui réduirait toutes les mathématiques au calcul? Est-on sûr que l'arithmétique ne recèle pas de contradiction? Toutes les vérités mathématiques sont-elles démontrables? Les réponses présentées dans ce livre sont la dernière surprise d'une aventure qui nous en réserve beaucoup d'autres.

Les nombres ont quelques chose de fascinant. Avant même de savoir s'en servir pour mesurer les phénomènes naturels et les maîtriser, les plus anciennes civilisations ont cherché dans leurs propriétés la solution des grandes énigmes de l'Univers et le secret des destinées humaines.Peut-on concevoir un automate qui réduirait toutes les mathématiques au calcul? Est-on sûr que l'arithmétique ne recèle pas de contradictions? Toutes les vérités mathématiques sont-elles démontrables? Ce livre nous raconte l'histoire de la découverte progressive de ces propriétés, depuis l'origine du calcul jusqu'aux questions les plus récentes.

Le calcul différentiel et intégral s'est profondément renouvelé dans les premières années du vingtième siècle, avec les travaux d'Emile Borel, Henri Lebesgue et René Baire. Ce dernier a fisse son nom à un outil bien connu, le lemme de Haire, qui permet d'établir des résultats existence avec simplicité et élégance. Mais les travaux de René Balte, et en particulier son rand théorème de caractérisation des limites simples de suites de fonctions continues, ont ouvert la voie vers un domaine immense. Le présent livre vous invite à une promenade dans champ de recherche toujours en progrès. Pour profiter pleinement de sa lecture, il est préférable de posséder une certaine maturité mathématique, une bonne pratique de la topologie et des espaces fonctionnels, du niveau de celle que l'on acquiert en fin de deuxième année d'université ou en cours de troisième année. Dans une discipline qui ne manque pas de géants, Gilles Godefroy, mieux que tout autre sans doute, pouvait offrir une semblable synthèse, à la fois progressive et complète. Travaillant puis près d'un demi-siècle en analyse fonctionnelle, il est l'un des spécialistes mondialement reconnus des méthodes développées dans cet ouvrage. Que l'on veuille découvrir univers Baire-mesurable, qui suffit à toutes les mathématiques applicables, ou que l'on vienne à s'interroger à son sujet, à en détecter et à en utiliser les uniformités cachées, le présent livre arrive à point nommé. L'auteur nous y apprend à contempler le coeur d'un espace topologique, après avoir procédé à l'épluchage de ses éléments superflus ! On comprendra alors comment les jeux conduisent à des dichotomies, ou comment construire les cadres qui permettent de simplifier démonstrations et calculs. Chemin faisant, ce livre conduira progressivement ses lecteurs au seuil de la recherche contemporaine. Car, outre la catégorie de Baire, les fonctions Baire-mesurables et leurs applications, l'ouvrage initie à l'usage des ordinaux dans les domaines les plus " concrets u de l'analyse. De nombreux exercices accompagnés d'indications figurent dans le livre et feront certainement le régal de plus d'un agrégatif ambitieux. Ils sont d'une difficulté très modérée au regard de la profondeur du contenu, et ont pour but davantage l'assimilation des notions que l'entrainement à la recherche, entrainement que les onze chapitres offrent à profusion.

Hervé Queffélec est professeur à l'Université de Lille 1. Ses travaux portent sur l'analyse fonctionnelle et harmonique, ainsi que sur les méthodes probabilistes en analyse. Il est l'auteur de plusieurs livres, parmi lesquels "Topologie" (Dunod), et coauteur avec Claude Zuily de "Analyse pour l'agrégation", (Dunod). Denis Choimet est professeur en classes préparatoires MP au Lycée du Parc à Lyon. Les dessins sont dus au talent de Michaël Monerau.