Éléments de topologie algébrique

Depuis une vingtaine d'année la topologie algébrique est devenue un outil extrêmement puissant qui a permis de résoudre des problèmes difficiles de géométrie. Mais ce développement s'est fait au prix, ou grâce, à une formalisation de plus en plus poussée, conduisant bien souvent à la disparition de tout support géométrique. Certes pour le débutant ce point de vue permet d'arriver assez vite à un maniement satisfaisant des concepts ; mais il est parfois une hypothèque sur l'acquisition d'une compréhension et d'une intuition géométrique des situations. On a donc choisi de présenter ici deux aspects particuliers de cette théorie, intéressants à la fois par leur simplicité et par leur efficacité : le groupe fondamental et la cohomologie de Rham. Ces deux aspects sont dans une large mesure indépendants ; mais on verra à l'occasion de certaines questions, des similitudes de méthodes qui sont à l'origine de la théorie moderne. Sommaire : GROUPE FONDAMENTAL Connexité, espaces quotients Exemples d'espaces topologiques Complexes cellulaires Homotopie Groupe fondamental Calcul du groupe fondamental REVETEMENTS Revêtements Revêtements galloisiens Revêtements et groupe fondamental Applications des revêtements COHOMOLOGIES DES FORMES DIFFERENTIELLES Cohomologies des variétés différentiables Cohomologies relatives Cohomologie et théorie de Morse Calculs d'espaces de cohomologies Dualité de Poincaré