Toutes les mathématiques. Première année de classes préparatoires scientifiques MPSI, MP2I, PCSI, PT

Résumé : Cet ouvrage propose une introduction à la théorie des nombres sous ses différents aspects : problèmes d'irrationalité et de transcendance, fractions continues, équations diophantiennes, formes quadratiques, fonctions arithmétiques et théorie algébrique des nombres. Les différents chapitres, très largement indépendants, se terminent par des exercices intégralement corrigés qui permettent au lecteur d'assimiler les notions étudiées. Cette deuxième édition, entièrement revue et corrigée, comporte des éléments supplémentaires sur la distribution des nombres premiers, les démonstrations des théorèmes de Gelfond-Schneider et deThue, ainsi que de nouveaux exercices corrigés. Destiné principalement aux étudiants en L3 ou en Master de mathématiques, il s'adresse également aux candidats au CAPES et à l'agrégation, ainsi qu'à toute personne qui apprécie la théorie des nombres pour la simplicité de ses énoncés et la variété de ses méthodes.

Les nouveaux programmes de mathématiques des classes de mathématiques supérieures des lycées entreront en vigueur en septembre 2003 et prévoient un programme de début d'année. Son but est d'étudier les bases mathématiques utiles à la fois en physique et en sciences industrielles (en tant qu'outils) et en mathématiques (en tant que source d'exemples et de procédés indispensables à l'élaboration de théories plus complètes). Il est certain que ces bases mathématiques seront aussi d'une grande utilité pour les étudiants de première année d'université scientifique. Ce programme de début d'année aborde les sujets suivants: la trigonométrie, les nombres complexes (du point de vue algébrique et géométrique), les produits de vecteurs (scalaire, vectoriel et mixte), les déterminants d'ordre 2 et 3, les fondements intuitifs du calcul différentiel et intégral, les équations différentielles du premier et du second ordre, les fonctions usuelles, les courbes paramétrées et en polaires, et les coniques. Le but de ce livre est de fournir au lecteur les éléments nécessaires à l'assimilation de ces notions, par l'intermédiaire d'un cours complet mais simple et concis, complété par un grand nombre d'exercices entièrement corrigés

D'une grande utilité dans de nombreux domaines des mathématiques, de la physique et de l'ingénierie, les fonctions hypergéométriques sont une généralisation naturelle des fonctions usuelles : exponentielle, fonctions trigonométriques, logarithme, etc. Ce livre propose une introduction à divers aspects de leur théorie, qui s'est développée depuis plus de deux siècles et continue à progresser de nos jours. Cette introduction se limite aux fonctions hypergéométriques de variable réelle. Elle est ainsi abordable dès la deuxième année des classes préparatoires scientifiques ou de l'université. Elle rendra également service aux candidats au CAPES et à l'agrégation de mathématiques. Ce livre se divise en 10 chapitres : 1. Fonctions eulériennes ; 2. Fonction polygamma ; 3. Fonctions hypergéométriques ; 4. Fonction hypergéométrique de Gauss ; 5. Intégrales elliptiques ; 6. Fonction hypergéométrique de Kummer ; 7. Fonctions de Bessel ; 8. Fonction polylogarithme ; 9. Polynômes orthogonaux classiques ; 10. Fonctions q-hypergéométriques. Plus de 150 exercices entièrement corrigés permettent d'assimiler les notions étudiées.

SOMMAIRE 1. Trigonométrie 2. Nombres complexes et trigonométrie 3. Equations dans C 4. Déterminants d'ordres 2 et 3 5. Le produit scalaire 6. Produit vectoriel et produit mixte 7. Géométrie analytique du plan et de l'espace 8. Introduction au calcul différentiel 9. Fonctions puissances et exponentielles 10. Fonctions logarithmes 11. Représentations graphiques 12. Trigonométrie hyperbolique 13. Fonctions trigonométriques réciproques 14. Primitives 15. Intégrales 16. Equations différentielles linéaires du premier ordre 17. Equations différentielles linéaires du second ordre 18. Courbes paramétrées 19. Courbes définies en coordonnées polaires 20. Géométrie plane, nombres complexes et transformations 21. Les coniques 22. Développements limités 23. Géométrie différentielle 24. Fractions rationnelles 25. Différentielles et champs de vecteurs 26. Intégrales doubles 27. Intégrales triples 28. Analyse vectorielle 29. Calcul barycentrique 30. Transformation de Laplace 31. Langage de la logique et des ensembles 32. Groupes et corps 33. Nombres entiers et arithmétique 34. Analyse combinatoire 35. Suites classiques de nombres réels ou complexes 36. Nombres réels et suites 37. Limites et équivalents 38. Continuité et dérivabilité 39. Compléments sur l'intégration 40. Polynômes 41. Déterminants 42. Calcul matriciel élémentaire 43. Espaces vectoriels 44. Espaces vectoriels de dimension finie 45. Applications linéaires 46. Image et rang 47. Espaces vectoriels euclidiens Solutions des exercices