DITES UN CHIFFRE. Idées et problèmes mathématiques qui défient notre intelligence

Résumé : Les statistiques peuvent-elles tout prouver ? Quels rapports la botanique et les nombres entretiennent-ils ? Pourquoi un mathématicien a-t-il plus de chances qu'un autre de devenir un bon espion ? Qu'est-ce qu'un carré parfait ? Comment optimiser le rangement de balles ou autres objets sphériques ? A quoi ressemble la vie en dimension quatre (ou trois et demi) ? Malcolm E Lines aborde ces questions et bien d'autres encore en relatant l'histoire de quelques-uns des plus célèbres problèmes mathématiques qui ont traversé les siècles, et défié profanes et spécialistes. L'itinéraire insolite qu'il propose au lecteur explore les liens qui unissent la nature et les nombres et prend également en compte les applications pratiques de certains outils mathématiques - la théorie des congruences, la factorisation ou les polynômes non déterministes - sans jamais renoncer à son objectif premier : construire un divertissement mathématique tout à la fois ludique et rigoureux.

L'Au-Delà est une réalité, notre survivance après la mort terrestre : une certitude, c'est la conviction qu'Yves Linès a acquise en trente ans de recherches, et de communications qualifiées de paranormales. L'authenticité des signes qu'il a reçus de cet "Ailleurs", comme tous ceux qui lui ont été confiés, par celles et ceux auprès de qui il a enquêté, sont autant de preuves qui entérinent l'évidence de notre immortalité. Yves Linès était, avant le deuil qui l'a frappé, un irrécupérable cartésien et un incurable matérialiste. Il lui a fallu, après ce décès, vivre et côtoyer durant des années des moments forts dans l'irrationnel, pour admettre qu'il y a une multitude d'événements et de faits qui dépassent l'entendement de notre raison. Pour confirmer cette révélation, il a côtoyé des conférenciers de renom mais aussi les plus grands médiums qu'il reçoit maintenant dans l'association qu'il a créée, et qu'on peut visiter sur le site "www.sourcedevietoulouse.fr". C'est aussi par les conférences sur la Trans-Communication Instrumentale que donne Yves Linès dans toutes les régions de France, comme celles qu'il a tenues au Mexique, en Italie, en Belgique et en Suisse, qu'il souhaite apporter son propre témoignage qui lui a fait admettre la réalité incontestable de notre survivance, après notre vie terrestre. Tous les signes qu'il a recueillis, et qu'il relate dans cet ouvrage, ne peuvent qu'interpeller notre intellect.

Ce livre en deux tomes est une introduction à la topologie algébrique et plus particulièrement à la théorie de l'homologie. Celle-ci associe à chaque espace topologique un module dont les propriétés algébriques reflètent celles de l'espace considéré. Nous l'appliquons principalement à l'étude des variétés, qui interviennent de manière fondamentale tant en mathématiques qu'en physique. Nous discutons de manière détaillée les divers concepts de dimension et d'orientation des variétés et établissons les résultats fondamentaux que sont les dualités de Poincaré et de Lefschetz. Le dernier chapitre du Tome II contient un panorama des résultats spectaculaires obtenus depuis les années soixante du siècle dernier concernant les variétés. Nous donnons dans les deux premiers chapitres du Tome I des compléments aux notions de base de la topologie générale et de la théorie des modules. Nous introduisons les homologies simpliciale et singulière, déterminons les modules d'homologie de nombreux espaces tels que les sphères, les surfaces et les espaces projectifs, et démontrons quelques théorèmes classiques de topologie comme ceux de Jordan et de Brouwer. Nous espérons que cet ouvrage sera utile pour un cours de niveaux master et doctorat ainsi que pour une étude individuelle de ces matières, y compris par des mathématiciennes et mathématiciens plus confirmés dont la topologie algébrique n'est pas le sujet principal de recherche.

Le Tome II de ce livre introduit la cohomologie, qui est une théorie duale de l'homologie, et examine les liens avec cette dernière ainsi que les divers produits construits sur les modules d'homologie et de cohomologie. Nous étudions en détail les variétés topologiques avec ou sans bord, définissons sur celles-ci au moyen de l'homologie une notion d'orientation et la comparons avec les définitions classiques d'orientation pour les variétés différentiables ou triangulables. Nous exposons les théorèmes de dualité de Poincaré, Alexander et Lefschetz et en déduisons les propriétés des formes d'intersection et de la signature des variétés. Le dernier chapitre du livre présente les résultats fondamentaux concernant la différentiabilité et la triangulabilité des variétés, obtenus depuis les années soixante du siècle dernier, tant en grandes dimensions qu'en dimension quatre. Nous discutons également la conjecture de Poincaré classique et ses généralisations. Bien que des démonstrations complètes de ces résultats soient hors de portée d'un ouvrage tel que le nôtre, nous nous sommes attachés à rendre leurs énoncés compréhensibles. Cette vue d'ensemble, et les références à la littérature qui l'accompagnent, fournissent une introduction aux développements récents dans ce riche domaine de la topologie.