Bases mathématiques du calcul stochastique

La théorie générale des processus et de l'intégrale stochastiques est rarement enseignée en master 1 ou en école d'ingénieurs. Cependant la modélisation stochastique a de plus en plus souvent besoin de modèles discontinus faisant appel à cette théorie. Par ailleurs, si on extrait des grands traités les seules notions de théorie générale nécessaires à la construction de l'intégrale stochastique et à l'obtention de la formule d'Ito, on aboutit à un texte qui peut être à la fois de taille raisonnable et abordable au niveau du master. Rendre plus accessible un domaine jusque-là réservé aux seuls spécialistes, par des démonstrations très détaillées et commentées et la présence de nombreux exercices corrigés, est l'ambition de cet ouvrage. Après une introduction situant le contexte et donnant les grandes lignes de la construction de l'intégrale stochastique, trois chapitres présentent des rappels et des compléments sur l'intégration classique, les martingales et la topologie générale. Le vrai point de départ de la théorie est le théorème de capacité de Choquet. Les théorèmes de sections optionnelles et prévisibles de Meyer en découlent facilement. On peut alors définir les projections optionnelles et prévisibles, établir leurs propriétés et démontrer le célèbre théorème de Doob-Meyer. Ce dernier résultat, avec celui concernant la décomposition des martingales locales, constitue la clé de la définition de l'intégrale stochastique. La covariation des semimartingales et la formule d'Ito (donc le calcul stochastique) dérivent à leur tour de l'existence et des propriétés de l'intégrale stochastique.

Cet ouvrage a été mis au point tout au long d'un enseignement de quatorze années à l'Ecole centrale de Paris. Le cours et le livre qui en est dérivé ont un double objectif : introduire la théorie des processus stochastiques, d'une part : mesurabilité, martingales, intégrales et équations différentielles stochastiques, calcul d'Ito, construction des processus stochastiques (théorème de Kolmogorov) ; étudier des exemples de processus, d'autre part : processus de Markov, processus de Feller et diffusions (présentées comme solutions des équations différentielles stochastiques), chaîne de Markov, processus de sauts markoviens, processus de Lévy. Ce double contenu permet notamment de souligner la complémentarité entre les équations différentielles stochastiques et les processus de Markov qui en sont les solutions. La diversité des processus étudiés illustre la richesse de la théorie et l'étendue de son champ d'applications. Toutes les démonstrations sont explicitées. De plus certains théorèmes classiques d'analyse (Stone-Weierstrass, représentation des formes linéaires par des intégrales de Riesz, Hahn-Banach, etc.) sont présentés et démontrés dans les compléments car ils sont fréquemment utilisés en théorie des processus stochastiques. Enfin les exercices sont corrigés et font partie intégrale de l'exposé : ils détaillent certaines démonstrations, fournissent les exemples indispensables et abordent les applications.

Cet ouvrage s'adresse à un double public. En premier lieu, les ingénieurs et les responsables de programmes de recherche appliquée y trouveront, indépendamment de tout contexte informatique, les concepts et les méthodes qui leur permettront de formuler et de résoudre les problèmes de qualification des modèles auxquels ils sont confrontés. Mais nous avons aussi voulu proposer à l'étudiant, voire àl'enseignant des universités ou écoles d'ingénieurs, quelques exemples concrets de modélisation mettant en oeuvre des notions de logique mathématique. Sommaire - Concepts de modélisation. - Un problème de modélisation dans le domaine nucléaire. - Logique des propositions. - Comptabilité entre données et modèles en logique des propositions. - Logique des prédicats. - Compatibilité entre données et modèles en logique des prédicats.

Fasciné par le destin de la chanteuse AMY WINEHOUSE, décédée tragiquement et qu'il a découverte après sa disparition, l'auteur a souhaité partir à sa rencontre, la contacter dans sa nouvelle demeure, sur son plan vibratoire, au-delà du temps et de l'espace... Ce sont ses expériences, ses tentatives de communication qui sont relatées dans cet ouvrage. Une approche dont le lecteur pourra tester le bien fondé, en pratiquant lui-même les techniques décrites. Chacun pourra également constater que la frontière entre les vivants et les disparus est franchissable même si l'on n'est pas médium.