Séries de Fourier et ondelettes. 2e édition

Les ensembles parfaits du type de Cantor, comme les fonctions continues partout non dérivables à la Weierstrass, les courbes sans tangentes à la Von Koch, sont devenues les paradigmes de la géométrie fractale de Benoit Mandelbrot et acquièrent rapidement droit de cité en physique comme l'avait prévu, bien à l'avance, Jean Perrin. Les dimensions fractionnaires en particulier la dimension de Hausdorff et la dimension capacitaire, dont l'égalité selon Frostman fait l'objet d'un chapitre de ce livre deviennent familières aux mathématiciens et à beaucoup de non-mathématiciens. La première édition de ce livre, publiée en 1963, a longtemps été la référence principale à ce sujet. Aussitôt après 1963, d'excellents travaux ont été suscités par ce livre, en particulier ceux de Nicolas Varopoulos, de Robert Kaufman, d'Yves Meyer. Des notes et des contributions originales de Thomas Körner et de Russel Lyons font le point de la situation en 1986. A cette époque, deux grands outils étaient apparus comme essentiels dans l'analyse de Fourier, en particulier dans la théorie des ensembles d'unicité et de multiplicité : les méthodes probabilistes et le point de vue de Baire. Aujourd'hui, le sujet des ensembles d'unicité est renouvelé par la considération des ensembles analytiques. Il est intéressant de voir comment ce vieux problème, posé dans la thèse de Cantor sur l'unicité du développement trigonométrique, a pu servir de banc d'essai, au cours de plus d'un siècle, à tant de bonnes mathématiques.

Pourquoi les mathématiques sont-elles essentielles, aujourd'hui ? Pourquoi leur enseignement doit-il être renouvelé ? Comment faut-il redéfinir les contenus de programmes et les méthodes d'enseignement ? Quelles doivent être les priorités de demain ? Peut-on renforcer le lien entre les mathématiques et les autres disciplines ? Dans quelle direction doit évoluer la formation des professeurs de mathématiques ? Au terme de plusieurs mois de travail et d'étude, une équipe représentative de toutes les sciences mathématiques nous livre ici ses propositions et recommandations, en vue d'une réforme générale de l'enseignement des mathématiques, depuis l'école primaire jusqu'à l'université.

Les ensembles parfaits du type de Cantor, comme les fonctions continues partout non dérivables à la Weierstrass, les courbes sans tangentes à la Von Koch, sont devenues les paradigmes de la géométrie fractale de Benoit Mandelbrot et acquièrent rapidement droit de cité en physique - comme l'avait prévu, bien à l'avance, Jean Perrin. Les dimensions fractionnaires - en particulier la dimension de Hausdorff et la dimension capacitaire, dont l'égalité selon Frostman fait l'objet d'un chapitre de ce livre - deviennent familières aux mathématiciens et à beaucoup de non-mathématiciens. La première édition de ce livre, publiée en 1963, a longtemps été la référence principale à ce sujet. Aussitôt après 1963, d'excellents travaux ont été suscités par ce livre, en particulier ceux de Nicolas Varopoulos, de Robert Kaufman, d'Yves Mever. Des notes et des contributions originales de Thomas Körner et de Russel Lyons font le point de la situation en 1986. A cette époque, deux grands outils étaient apparus comme essentiels dans l'analyse de Fourier, en particulier dans la théorie des ensembles d'unicité et de multiplicité : les méthodes probabilistes et le point de vue de Baire. Aujourd'hui, le sujet des ensembles d'unicité est renouvelé par la considération des ensembles analytiques. Il est intéressant de voir comment ce vieux problème, posé dans la thèse de Cantor sur l'unicité du développement trigonométrique, a pu servir de banc d'essai, au cours de plus d'un siècle, à tant de bonnes mathématiques.

J'ai essayé de me plonger dans l'histoire des mathématiques pour apprendre la langue que parlaient les mathématiciens du passé, pour retrouver les idées qui les guidaient et les méthodes qu'ils utilisaient. Je ne cache pas mon ambition de faire entendre ici les voix de ces savants en leur donnant souvent la parole pour essayer de mieux dévoiler le magnifique héritage qu'ils nous ont légué [...]. La notion de limite et les éléments des fondements de l'analyse constituent le thème central de ce travail. J'ai été très attentif aux moments cruciaux où apparaissaient les différentes notions dont celle de limite était le fil directeur. Elle trouve sors point de départ dans une image géométrique : celle d'un carré inscrit dans un cercle. Euclide en tirera la première démonstration d'approximation du nombre Pi, ouvrant ainsi la voie au développement de ce concept. Par ailleurs je souhaite avoir mis en évidence un effort - ininterrompu des Babyloniens jusqu'au XXe siècle - qui a permis d'aboutir à la mathématique d'aujourd'hui. Pierre Dugac " Pierre Dugac s'est attaché à la recherche et à l'analyse de documents inédits, de cours manuscrits, de correspondances scientifiques ou personnelles, d'éléments biographiques, etc. qui lui permettent de mieux saisir les cheminements scientifiques et en même temps l'unité des oeuvres et des hommes. Le mot cheminement revient souvent sous sa plume : une notion, une œuvre, comme une -vie, cheminent, il faut en suivre les étapes mais aussi les détours, les hésitations, les retours en arrière, les élans, les fatigues, les apothéoses, les déchirements. Cette compréhension en profondeur des personnages qui vivent sous ses ' yeux - comme de leur couvre mathématique qui le fascine et le passionne - donne à son travail une sensibilité, un relief et une richesse très remarquables. Il savait allier la finesse et la délicatesse de ses intuitions, parfois proches de celles d'un romancier et d'un poète, à la rigueur et à l'honnêteté scrupuleuse d'un mathématicien et d'un historien. " Jeanne Peiffer, Revue d'histoire des mathématiques.