Initiation progressive au calcul tensoriel Claude Jeanperrin

Le calcul tensoriel est un outil mathématique systématiquement utilisé dans de nombreux domaines de la physique, notamment pour l'étude des propriétés mécaniques et électromagnétiques des matériaux, de la mécanique classique ou relativiste, appliquée ou théorique (cosmologie par exemple). Malheureusement, faute d'une place et d'un temps suffisants, l'étude de cette discipline est souvent "comprimée" en marge des programmes effectifs, voire inexistante. Certains enseignants ont pris le parti d'introduire dans leurs cours un bref "complément sur les tenseurs", qui souvent ne peut que servir d'aide-mémoire à un Public supposé déjà initié. Afin de combler cette lacune, et de permettre aux étudiants de maîtriser rapidement les techniques de base de calcul tensoriel nécessaires à la compréhension des cours qui leur sont dispensés par ailleurs, l'auteur a été amené à mette au point un programme d'initiation progressive au calcul tensoriel qui, après polissage "sur le tas", a donné naissance au présent manuel. Ce dernier n'est ni un traité de mathématiques pures ni un ouvrage de calcul strictement appliqué, mais il se situe entre les deux puisqu'il développe l'essentiel de la théorie sans en pousser le formalisme trop loin, et introduit des techniques utilitaires sans cependant les spécialiser. Il s'appuie sur l'explication sans négliger la démonstration et s'efforce d'adjoindre à la démarche déductive du mathématicien, une démarche inductive qui "parle" au physicien. Il contient, bien évidemment, de substantiels exercices d'entraînement aux techniques introduites sous forme de cours. Cet ouvrage s'adresse aux étudiants des universités (fin de 1er, 2e cycle), et écoles d'ingénieurs, utilisant le calcul tensoriel notamment dans les domaines suivants : propriétés mécaniques et électromagnétiques des matériaux (mécanique et optique en physique ; sciences de la Terre), relativité, cosmologie (physique, astrophysique), ingéniérie (mécanique, Génie civil). Les techniques de base présentées dans ce manuel sont utilisées et développées dans un second ouvrage faisant suite à celui-ci, Utilisation du calcul tensoriel dans les géométries riemanniennes, chez le même éditeur. SOMMAIRE Chapitre 1. Préliminaire. 1. Vecteurs géométriques et espace R3. 2. Convention d'écriture ; la notation d'Einstein. 3. Changement de base dans R3. 4. Formes linéaires sur R3, espace dual. Chapitre 2. Introduction des tenseurs. 1. Multiplication tensorielle. 2. Généralisation de la multiplication tensorielle. 3. Produit tensoriel de n espaces. Chapitre 3. Opérations sur les tenseurs. 1. Egalité de deux tenseurs. 2. Addition de deux tenseurs. 3. Produit tensoriel de deux tenseurs. 4. Contraction d'un tenseur mixte. Chapitre 4. Dérivation en notation tensorielle. 1. Position d'un point dans l'espace. 2. Dérivées par rapport aux variables d'espace. 3. Fonction uniforme de n variables indépendantes. 4. Condition d'uniformité de f(ui) : théorème de Schwarz. Chapitre 5. Coordonnées curvilignes. Dérivation des tenseurs. 1. Coordonnées rectilignes. 2. Coordonnées curvilignes ; repère naturel. 3. Champs de tenseurs exprimés en coordonnées curvilignes. 4. Vitesse et accélération en cinématique. Solution des exercices. Bibliographie

Le passage de la " géométrie unique et universelle " (compilée par Euclide trois siècles avant J-C) à des géométries différentes mais tout aussi logiques, s'est fait sur un plan théorique notamment grâce aux travaux de Lobatchevski, Bolyai, et Riemann, au XIXe siècle. Ces chercheurs ne se doutaient pas que leur " construction de l'esprit " deviendrait un des outils de la révolution que la physique allait connaître un quart de siècle plus tard, notamment avec Einstein et la relativité générale. Ces nouvelles géométries " bizarres ", maintenant qualifiées de riemanniennes, entraient dans le domaine pratique et devenaient indispensables à l'étude cosmologique, puisque la géométrie euclidienne apparaissait comme une approximation locale non valable à l'échelle de l'Univers. Mais les géométries riemanniennes trouvent aussi des applications dans des domaines plus " terre à terre " comme l'optique des milieux continus, ou l'étude des surfaces courbes en ingénierie mécanique. Malheureusement, faute de temps et de place dans les programmes d'enseignement de la physique, leur étude est souvent escamotée, et les étudiants de ces disciplines doivent se contenter d'un " digest " de recettes à admettre, portant sur les notions fondamentales de courbure, de géodésiques et autres, lesquelles restent souvent bien floues dans les esprits. Le présent livre se propose alors de faire découvrir les particularités de ces géométries inhabituelles, à petites doses, de façon progressive, en essayant d'en faire apparaître le pourquoi, et en prenant garde aux généralisations trop hâtives, " allant de soi ", mais débouchant parfois sur des idées fausses. Un petit voyage est prévu, à ce propos, dans la fameuse " cinquième dimension ". Même si ces géométries sont nées sans faire appel à la notion de tenseur, le formalisme tensoriel s'est rapidement imposé comme outil particulièrement élégant et efficace au cours de leur développement. Il faut toutefois se rappeler que cette efficacité est en grande partie liée à l'ingéniosité d'un système de notation des indices, lié à leur variance (notation d'Einstein), dont l'usage n'est malheureusement pas encore partout entré dans les m?urs. Bien entendu, il en est fait systématiquement usage dans ce livre. Et la maîtrise d'un outil s'acquérant essentiellement par la pratique, des exercices, implicitement ou explicitement orientés vers les applications citées plus haut, ont été prévus à cet effet.

Le passage de la "géométrie unique et universelle" (compilée par Euclide trois siècles av. J.-C.) à des géométries différentes mais tout aussi logiques, s'est fait sur un plan théorique notamment grâce aux travaux de Lobatchevski, Bolyaï, et Riemann, au XIXe siècle. Ces chercheurs ne se doutaient pas que leur "construction de l'esprit" deviendrait un des outils de la révolution que la physique allait connaître un quart de siècle plus tard, notamment avec Einstein et la relativité générale. Ces nouvelles géométries "bizarres", maintenant qualifiées de riemanniennes, entraient dans le domaine pratique et devenaient indispensables à l'étude cosmologique, puisque la géométrie euclidienne apparaissait comme une approximation locale non valable à l'échelle de l'Univers. Mais les géométries riemanniennes trouvent aussi des applications dans des domaines plus "terre-à-terre" comme l'optique des milieux continus, ou l'étude des surfaces courbes en ingéniérie mécanique. Malheureusement, faute de temps et de place dans les programmes d'enseignement de la physique, leur étude est souvent escamotée, et les étudiants de ces disciplines doivent se contenter d'un "digest" de recettes à admettre, portant sur les notions fondamentales de courbure, de géodésiques et autres, lesquelles restent souvent bien floues dans les esprits. Le présent livre se propose alors de faire découvrir les particularités de ces géométries inhabituelles, à petites doses, de façon progressive, en essayant d'en faire apparaître le pourquoi, et en prenant garde aux généralisations trop hâtives, "allant de soi", mais débouchant parfois sur des idées fausses. Un petit voyage est prévu, à ce propos, dans la fameuse "cinquième dimension". Même si ces géométries sont nées sans faire appel à la notion de tenseur, le formalisme tensoriel s'est rapidement imposé comme outil particulièrement élégant et efficace au cours de leur développement. Il faut toutefois se rappeler que cette efficacité est en grande partie liée à l'ingéniosité d'un système de notation des indices, lié à leur variance (notation d'Einstein), dont l'usage n'est malheureusement pas encore partout entré dans les moeurs. Bien entendu, il en est fait systématiquement usage dans ce livre. Et la maîtrise d'un outil s'acquérant essentiellement par la pratique, des exercices, implicitement ou explicitement orientés vers les applications citées plus haut, ont été prévus à cet effet.