Initiation progressive au calcul tensoriel. Cours et exercices corrigés

Le calcul tensoriel est un outil mathématique systématiquement utilisé dans de nombreux domaines de la physique, notamment pour l'étude des propriétés mécaniques et électromagnétiques des matériaux, de la mécanique classique ou relativiste, appliquée ou théorique (cosmologie par exemple). Malheureusement, faute d'une place et d'un temps suffisants, l'étude de cette discipline est souvent "comprimée" en marge des programmes effectifs, voire inexistante. Certains enseignants ont pris le parti d'introduire dans leurs cours un bref "complément sur les tenseurs", qui souvent ne peut que servir d'aide-mémoire à un Public supposé déjà initié. Afin de combler cette lacune, et de permettre aux étudiants de maîtriser rapidement les techniques de base de calcul tensoriel nécessaires à la compréhension des cours qui leur sont dispensés par ailleurs, l'auteur a été amené à mette au point un programme d'initiation progressive au calcul tensoriel qui, après polissage "sur le tas", a donné naissance au présent manuel. Ce dernier n'est ni un traité de mathématiques pures ni un ouvrage de calcul strictement appliqué, mais il se situe entre les deux puisqu'il développe l'essentiel de la théorie sans en pousser le formalisme trop loin, et introduit des techniques utilitaires sans cependant les spécialiser. Il s'appuie sur l'explication sans négliger la démonstration et s'efforce d'adjoindre à la démarche déductive du mathématicien, une démarche inductive qui "parle" au physicien. Il contient, bien évidemment, de substantiels exercices d'entraînement aux techniques introduites sous forme de cours. Cet ouvrage s'adresse aux étudiants des universités (fin de 1er, 2e cycle), et écoles d'ingénieurs, utilisant le calcul tensoriel notamment dans les domaines suivants : propriétés mécaniques et électromagnétiques des matériaux (mécanique et optique en physique ; sciences de la Terre), relativité, cosmologie (physique, astrophysique), ingéniérie (mécanique, Génie civil). Les techniques de base présentées dans ce manuel sont utilisées et développées dans un second ouvrage faisant suite à celui-ci, Utilisation du calcul tensoriel dans les géométries riemanniennes, chez le même éditeur. SOMMAIRE Chapitre 1. Préliminaire. 1. Vecteurs géométriques et espace R3. 2. Convention d'écriture ; la notation d'Einstein. 3. Changement de base dans R3. 4. Formes linéaires sur R3, espace dual. Chapitre 2. Introduction des tenseurs. 1. Multiplication tensorielle. 2. Généralisation de la multiplication tensorielle. 3. Produit tensoriel de n espaces. Chapitre 3. Opérations sur les tenseurs. 1. Egalité de deux tenseurs. 2. Addition de deux tenseurs. 3. Produit tensoriel de deux tenseurs. 4. Contraction d'un tenseur mixte. Chapitre 4. Dérivation en notation tensorielle. 1. Position d'un point dans l'espace. 2. Dérivées par rapport aux variables d'espace. 3. Fonction uniforme de n variables indépendantes. 4. Condition d'uniformité de f(ui) : théorème de Schwarz. Chapitre 5. Coordonnées curvilignes. Dérivation des tenseurs. 1. Coordonnées rectilignes. 2. Coordonnées curvilignes ; repère naturel. 3. Champs de tenseurs exprimés en coordonnées curvilignes. 4. Vitesse et accélération en cinématique. Solution des exercices. Bibliographie