Intégration. Analyse hilbertienne

Les deux grandes théories mentionnées dans le titre de cet ouvrage : intégration et analyse hilbertienne, sont nées au début du XXe siècle, et le but de cet ouvrage est essentiellement d'exposer les fondements mathématiques de la mécanique quantique, en dévelop-pant les théories avant leurs applications aux problèmes qui les ont motivées. Il ne cherche pas à être exhaustif : on a évité d'introduire de nombreuses notions, souvent très naturelles, mais insuffisamment illustrées dans ce cours ; on a aussi, parfois, omis d'énoncer certaines propriétés très simples des objets introduits ; ces omissions sont en général compensées par la présence de nombreux exercices ; les uns faciles, sont essentiels à la compréhension du cours et doivent être résolus au fur et à mesure de sa lecture ; les autres, imprimés en petits caractères, sont plus difficiles ou font appel à des notions ou résultats qui ne font pas partie intégrante du cours ; ces derniers exercices, ainsi que tous les passages imprimés en petits caractères, peuvent être considérés comme non indispensables à une compré-hension raisonnable du cours. Les connaissances requises au départ sont, bien entendu, le pro-gramme d'analyse des classes préparatoires ou des DEUG, ainsi qu'une partie du programme d'algèbre linéaire : espaces vectoriels, bases, applications linéaires, dualité. SOMMAIRE Introduction I - Mesures, intégration : Introduction - Mesures et tribus - Ensembles µ-négligeables ; ensembles µ-mesurables - Intégration des fonctions positives - Fonctions intégrables. Espaces et L1 - L'espace L2 - Mesures produits. Théorème de Fubini - Comparaison des intégrales de Riemann et de Lebesgue - Images, densités, changements de variables - Mesures de Radon - Démonstrations de certains résultats du chapitre I. II - Définition et premières propriétés des espaces hilbertiens : Introduction - Formes bilinéaires et sesquilinéaires. Espaces préhilbertiens - Espaces hilbertiens. Exemples - Opérations élémentaires sur les espaces hilbertiens - Espaces de Sobolev à une variable. III - Projections, bases, dualité, séries de Fourier, convergence faible : Introduction - Théorème de la projection - Suites orthogonales. Bases hilbertiennes - Exemples de bases hilbertiennes - Dualité - Séries de Fourier - Convergence faible. IV - Opérateurs bornés, spectres, adjoints. Opérateurs de Hilbert-Schmidt Introduction - Généralités sur les opérateurs - Opérateurs inversibles. Spectres - Opérateurs adjoints, hermitiens, positifs, isométriques, unitaires ; projecteurs - Opérateurs de Hilbert-Schmidt. V - Opérateurs compacts : Introduction - Définition et premières propriétés des opérateurs compacts - Théorie spectrale des opérateurs compacts. VI - Méthodes variationnelles. Applications : Introduction - Théorèmes de Stampacchia et de Lax-Milgram - Application à certaines équations abstraites - Application aux opérateurs différentiels à une variable (problème de Sturm-Liouville). VII - Opérateurs auto adjoints : Introduction - Généralités sur les opérateurs - Théorème spectral et applications - Formalisme de la mécanique quantique - Exemples d'hamiltoniens de systèmes à une particule - Appendice : espaces de Sobolev. Appendices - Bibliographie - Index