Cours de mathématiques spéciales. Tome 2, Topologie, analyse réelle

A l'origine cours de mathématiques spéciales, cet ouvrage donne aussi une vue plus générale des mathématiques du premier cycle en insistant particulièrement sur les structures et théorèmes fondamentaux. On y trouvera ainsi les constructions des ensembles mathématiques usuels (N, Z, Q, R, C), l'utilisation de l'axiome de Zorn, les Théorèmes d'Erdös-Kaplansky, de Baire, de Stone-Weierstrass ainsi que d'autres résultats - parfois aux confins du programme - que l'étudiant curieux peut être conduit à rechercher. La présence d'exercices corrigés facilitera l'acquisition du savoir-faire technique nécessaire à l'étude du cours. Ce traité comporte trois volumes : Algèbre, Topologie et analyse réelle, Espaces fonctionnels. Dans le premier tome, la construction de N, Z et Q met en évidence l'importance des relations d'équivalence et du passage au quotient. L'étude des propriétés des. espaces vectoriels, suivant qu'ils soient de dimension finie ou non, s'appuie sur les résultats acquis sur les cardinaux infinis. Les polynômes, étudiés sur un corps K, donneront une construction de C, corps de décomposition de (X*X) + 1, mais serviront aussi dans l'étude des polynômes d'endomorphismes ainsi que pour la réduction des endomorphismes (diagonalisation, trigonalisation et jordanisation). Enfin, l'étude des formes quadratiques et hermitiennes complète ce tome d'Algèbre.

L'étude des arcs paramétrés, puis des nappes est le point de départ qui permet de dégager la notion de variété, elle-même à la base de la géométrie différentielle. C'est dire s'il est important de disposer de définitions rigoureuses, et généralisables. Les coniques et les quadriques, cas particuliers d'arcs et de nappes, trouvent leur place dans ce livre, et leur étude permet de voir comment on peut utiliser tous les outils dont on dispose pour parvenir à ses fins : structures affines, transformations géométriques, aussi bien que les formes quadratiques, ou les fonctions implicites. Les mathématiques forment un tout qu'il serait maladroit de fractionner en domaines sans rapports les uns avec les autres.