Géométrie analytique

La théorie des catégories est née avec l'article fondateur de Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane paru dans les Transactions de l'AMS en 1945, en rapport avec leurs travaux en topologie algébrique. Le livre bien connu de Mac Lane, Categories for the Working Mathematician (Springer, 1971) est considéré comme la référence standard sur le sujet. Dès le départ, la théorie a eu pour ambition de fournir un langage à la fois conceptuel et unificateur utilisable dans toutes les branches des mathématiques. Ce faisant, elle a apporté des éclairages différents à des résultats classiques et permis de formuler de nouveaux problèmes de recherche apparaissant dans des cadres très généraux. Cela l'a rendue incontournable pour tout mathématicien. Le présent livre sur les catégories et les foncteurs est l'aboutissement d'un cours que le professeur Assem a aimé donner des années durant à ses étudiants de l'université de Sherbrooke. Dans un style limpide et un souci extrême de rigueur et de précision, l'auteur nous offre un texte qui facilitera l'accès une fois pour toutes au coeur de la théorie : foncteurs, transformations naturelles, lemme de Yoneda, adjonction, propriétés universelles, limites et les colimites, etc. Ibrahim Assem va cependant plus loin tout en veillant à garder à son livre une taille raisonnable. C'est ainsi que deux chapitres sont consacrés aux catégories abéliennes et à l'algèbre homologique, qui en est le rejeton naturel. On y rencontre entre autres les foncteurs exacts, les objets injectifs et projectifs, les carquois, et même l'homologie singulière. L'exposé de la théorie est abondamment illustré et complété par des exemples, des applications variées et une série d'exercices instructifs (rendus, suite au texte des chapitres, faciles et ne nécessitant pas de solutions). Ce livre sera un outil aussi agréable qu'utile pour celles et ceux qui apprennent les mathématiques, les enseignent ou les conçoivent, et deviendra très vite à ce titre le vade-mecum du mathématicien en action à la page.

L'algèbre linéaire fait partie des branches des mathématiques les plus enseignées, tant au collège qu'à l'université. Elle se distingue par son considérable pouvoir formateur et l'élégance de ses méthodes. Ses applications, d'une grande portée, ne se comptent plus dans tous les domaines des sciences pures et appliquées ainsi que des sciences humaines. Cet ouvrage est avant tout un cours d'algèbre linéaire qui compte plus de 1 800 exercices de tous niveaux de difficulté. L'auteur y présente une approche différente d'un contenu classique et s'applique à motiver l'introduction de nouveaux concepts ainsi qu'à expliquer les idées sous-jacentes aux preuves, tout en présentant le matériel comme une théorie cohérente ayant ses buts et sa pertinence. La rigueur mathématique est compensée par un ton vivant, des commentaires détaillés et de très nombreux exemples résolus.

Ce livre est issu de plusieurs cours de théorie des modules donnés par les auteurs dans leurs universités respectives pendant les trente dernières années. L'approche à la théorie intègre naturellement des méthodes de théorie des catégories et d'algèbre homologique. Les représentations de carquois sont introduites comme source intarissable d'exemples et d'illustrations. Les notions fondamentales d'anneau, d'algèbre et de modules sont introduites en mettant l'accent sur les applications structurelles entre ces objets. Cela permet d'arriver à une vision catégorique des modules, et de prouver les résultats classiques sur leur structure. Enfin, les méthodes homologiques mènent à la définition d'invariants pour les modules, comme les groupes d'extension, de torsion ou les dimensions homologiques.