COURS D'ALGEBRE - GROUPES, ANNEAUX, MODULES ET CORPS

La théorie des catégories est née avec l'article fondateur de Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane paru dans les Transactions de l'AMS en 1945, en rapport avec leurs travaux en topologie algébrique. Le livre bien connu de Mac Lane, Categories for the Working Mathematician (Springer, 1971) est considéré comme la référence standard sur le sujet. Dès le départ, la théorie a eu pour ambition de fournir un langage à la fois conceptuel et unificateur utilisable dans toutes les branches des mathématiques. Ce faisant, elle a apporté des éclairages différents à des résultats classiques et permis de formuler de nouveaux problèmes de recherche apparaissant dans des cadres très généraux. Cela l'a rendue incontournable pour tout mathématicien. Le présent livre sur les catégories et les foncteurs est l'aboutissement d'un cours que le professeur Assem a aimé donner des années durant à ses étudiants de l'université de Sherbrooke. Dans un style limpide et un souci extrême de rigueur et de précision, l'auteur nous offre un texte qui facilitera l'accès une fois pour toutes au coeur de la théorie : foncteurs, transformations naturelles, lemme de Yoneda, adjonction, propriétés universelles, limites et les colimites, etc. Ibrahim Assem va cependant plus loin tout en veillant à garder à son livre une taille raisonnable. C'est ainsi que deux chapitres sont consacrés aux catégories abéliennes et à l'algèbre homologique, qui en est le rejeton naturel. On y rencontre entre autres les foncteurs exacts, les objets injectifs et projectifs, les carquois, et même l'homologie singulière. L'exposé de la théorie est abondamment illustré et complété par des exemples, des applications variées et une série d'exercices instructifs (rendus, suite au texte des chapitres, faciles et ne nécessitant pas de solutions). Ce livre sera un outil aussi agréable qu'utile pour celles et ceux qui apprennent les mathématiques, les enseignent ou les conçoivent, et deviendra très vite à ce titre le vade-mecum du mathématicien en action à la page.

Ce livre est issu de plusieurs cours de théorie des modules donnés par les auteurs dans leurs universités respectives pendant les trente dernières années. L'approche à la théorie intègre naturellement des méthodes de théorie des catégories et d'algèbre homologique. Les représentations de carquois sont introduites comme source intarissable d'exemples et d'illustrations. Les notions fondamentales d'anneau, d'algèbre et de modules sont introduites en mettant l'accent sur les applications structurelles entre ces objets. Cela permet d'arriver à une vision catégorique des modules, et de prouver les résultats classiques sur leur structure. Enfin, les méthodes homologiques mènent à la définition d'invariants pour les modules, comme les groupes d'extension, de torsion ou les dimensions homologiques.

Branche des mathématiques qui est devenue une partie essentielle des programmes d'études du secondaire, du collégial et de l'université, la géométrie analytique est une approche de la géométrie selon laquelle on décrit les objets par des nombres et les propriétés, par des égalités. Cela rend possible de ramener la résolution d'un problème à la résolution d'une ou de plusieurs équations. Cet ouvrage étudie la géométrie analytique réelle du plan et de l'espace : droites, plans, coniques et quadriques. Dès lors que l'on connaît un petit nombre de techniques et de résultats, la géométrie analytique permet de retrouver les autres rapidement. L'approche est illustrée ici par un grand nombre d'exemples qui rendent le texte vivant et par plus de 1 500 exercices de tous niveaux de complexité. Géométrie analytique s'adresse aux étudiants en mathématiques ou en enseignement des mathématiques ainsi qu'aux étudiants en sciences appliquées. Sa structure en fait même un outil accessible aux autodidactes. La matière présentée convient aussi bien au niveau collégial qu'au début du premier cycle universitaire.

Je l'ai poussé. Il est tombé à la renverse. Je ne sais pas si je l'ai tué. Je suis partie. Je devais sortir de là ! Mon Dieu, qu'ai-je fait ?" Roxanne est une femme qui navigue entre plusieurs mondes : sa culture d'origine - afghane et islamique -, le monde dans lequel elle vit depuis qu'elle a dû s'exiler en Amérique il y a plus de trente ans, et celui dans lequel elle aimerait vivre un jour, son rêve parisien. Coincée entre son mari Aziz qui se saoule tout le temps, ses filles qui ont grandi trop vite et sa famille qui lui donne des brûlures d'estomac, Roxanne vit avec ses rêves et ses déceptions. Elle perçoit son mari comme le principal obstacle à la réalisation de ses aspirations. Mais avec l'âge, elle questionne son propre cheminement. Femme, belle, intelligente, afghane et musulmane par naissance, fille et mère par déterminisme, américaine par adoption, parisienne par inspiration : là se trouvent tous les ingrédients qui contribuent à faire de Roxanne un mélange savoureux de contrastes et de contradictions, qui la rendent si humaine.