Cours d'algèbre

Cet ouvrage est issu du cours de géométrie que Michel Demazure a professé à l'Ecole Polytechnique. C'est dans ce cadre qu'il se propose « de renouer les fils d'une tradition brisée ». Les principales connaissances nécessaires à la compréhension de ce cours sont traitées en classe de mathématiques spéciales dans les parties « algèbre linéaire », « topologie générale » et « fonctions de plusieurs variables ». Pour faciliter la tâche du lecteur, l'auteur en a rappelé les résultats les plus importants pour son propos.

Disciplines plus que bimillénaires, l'algèbre et l'arithmétique ont connu récemment des applications aussi spectaculaires qu'inattendues. Comment décomposer un nombre en facteurs premiers, comment reconnaître si un nombre est premier : ces questions, revivifiées par l'existence des moyens modernes de calcul, se retrouvent aujourd'hui au cœur des procédés de cryptographie les plus récents. La numérisation du stockage et de la transmission de l'information utilise les codes correcteurs, application surprenante des corps finis inventés par Galois. A côté de cette application moderne d'une théorie classique, les ordinateurs, dans d'autres domaines, sont en train de modifier la conception que l'on a de l'algèbre. Le livre de Michel Demazure s'inscrit dans ce mouvement, et l'enseignement de l'algèbre va certainement évoluer pour une part dans la direction qu'il indique. Issu d'un enseignement à l'Ecole polytechnique, ce Cours d'algèbre est accessible à des étudiants de licence ou à de bons élèves de classes préparatoires. Il rendra de grands services aux agrégatifs. Il peut inspirer des cours d'algèbre d'un style nouveau à l'Université ou dans les écoles d'ingénieurs. La première partie traite d'abord de l'analyse des algorithmes, puis de l'arithmétique classique et de la transformation de Fourier rapide, avec comme objectif la construction de tests performants de reconnaissance des nombres premiers. La deuxième partie est consacrée à la théorie élémentaire des anneaux commutatifs, notamment à la divisibilité. La troisième partie, après une introduction aux corps finis et à la théorie cyclotomique, présente un exposé détaillé de leurs applications aux codes correcteurs. Ce livre contient 281 exercices avec solutions, dont un grand nombre comporte des calculs sur ordinateur.

Conforté par la découverte du Boson de Higgs en 2012, le modèle standard de la physique quantique décrit l'infiniment petit et nous fait entrer dans un monde peu commun où les règles du jeu se distinguent profondément de celles qui régissent notre quotidien. Les dernières découvertes en cosmologie ont montré que ces règles sont aussi utiles pour comprendre l'origine de l'univers. Cette nouvelle édition actualisée, sans formulation mathématique, explique simplement les lois particulières avec lesquelles les physiciens travaillent et qui sont à l'origine de bouleversements industriels, économiques, sociaux et politiques. En effet, le nucléaire, le laser, le transistor et les progrès récents en imagerie médicale n'auraient jamais vu le jour sans le développement de la physique quantique. Ainsi, en quelques courts chapitres, les idées qui structurent la théorie quantique sont présentées, tout en ébauchant leurs connexions avec les technologies de pointe.

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