Nouvelles histoires hédonistes de groupes et de géométries. Tome II

Le présent ouvrage est avant tout une oeuvre de bonheur et une invitation manifeste aux agréments mathématiques. Géométrie et groupes se donnent la main dans une valse nouvelle, aux sonorités du Programme d'Erlangen et aux modulations de la topologie et de la combinatoire. Philippe Caldero et Jérôme Germoni nous proposent d'abord de revisiter les programmes de la licence jusqu'à l'agrégation à l'aune des actions de groupes, qui offrent un principe unificateur exceptionnel. Ces actions sont enrichies de structures variées telles la topologie ou la géométrie différentielle. A l'aide d'un nombre volontairement réduit d'outils théoriques, un plan d'étude d'une action (par la description des orbites, d'invariants, de formes normales et de l'adhérence des orbites) est mené de façon systématique dans des situations nombreuses et variées, faisant un pont entre certaines, quelque peu familières (théorème du rang), et d'autres plus sophistiquées (variétés de Schubert). La combinatoire apparaît aussi comme une version discrète de la géométrie sur les corps finis. Elle donne des applications aussi spectaculaires qu'inattendues (formule du triple produit de Jacobi comme "trace" de la théorie des matrices échelonnées, loi de réciprocité quadratique résultant de la géométrie des quadriques). Deux auteurs, deux collègues, deux amis nous offrent là le fruit d'une collaboration heureuse, un fruit licite conçu dans le plaisir, une oeuvre d'architectes, de poètes et surtout de brillants mathématiciens. Un regard nouveau et unificateur sur des thèmes classiques, particulièrement adapté à la synthèse que demande l'agrégation, avec en prime quelques perles inédites, du moins à ce niveau d'enseignement. Limitant les généralités au strict minimum, le texte offre sur deux volumes une multitude d'exemples explicites, établissant un pont entre l'algèbre linéaire, la géométrie élémentaire et des théories géométriques plus avancées.

Le présent livre est le dernier volet, tant attendu, des "contes hédonistes", que nous retracent avec magie Philippe Caldero et Jérôme Germoni. Les lecteurs y sont transportés, comme sur un tapis volant, dans un parcours contemplatif et raisonné des interactions entre groupes et géométries. Nos deux capitaines ne réclament à leurs passagers aucun document de voyage, mais un simple bagage mathématique de niveau master. Ce second volume suit le même canevas que son prédécesseur, en proposant de nombreux thèmes où les groupes jouent un rôle déterminant. Une place de choix est accordée à la théorie des représentations, qui fait désormais partie du programme de l'agrégation. Mais au-delà du cadre restrictif des programmes de concours, on découvrira quelques morceaux de bravoure, comme deux études topologiques des grassmanniennes, l'une élémentaire et l'autre à l'aide des coordonnées de Plücker, ou un survol de la théorie des carquois de Peter Gabriel. On y rencontre aussi la féconde théorie de McKay. Une des vocations de ce volume est, après tout, de pourvoir quelques outils de la recherche actuelle à l'intention des étudiants en master ou des professeurs du supérieur. Des solides platoniciens aux grassmanniennes, en passant par quelques territoires défrichés naguère par cet autre magicien que fut Harold Scott Coxeter, les lecteurs comprendront combien la géométrie a été et reste la source d'inspiration première de toutes ces belles mathématiques. Ils saisiront également comment la théorie des groupes est là pour donner du recul à l'apprenti mathématicien et l'aider à sortir de sa caverne de Platon.

Le succès que les histoires hédonistes ont connu auprès des agrégatifs et de leurs préparateurs a amené les auteurs à se lancer dans une nouvelle édition. Bien entendu, cette décision a eu pour objet de corriger les erreurs et les coquilles qu'ils ont pu laisser dans le premier volume, et leur a permis ainsi de retrouver sommeil et sérénité. Mais l'intention était surtout de répondre aux demandes soutenues de leurs lecteurs et lectrices, sympathiquement exprimées à travers les forums et les courriels. Cette seconde édition, qui comportera deux volumes, est donc surtout orientée autour de la préparation à l'agrégation. Jérôme Germoni et Philippe Caldero y ont fait figurer les corrections des exercices, tout en ayant encore plus présent en tête l'exercice de style que représente l'oral de l'agrégation (développements, discussion avec le jury), mais sans perdre pour autant une certaine hauteur de point de vue, et le plaisir qui l'accompagne, que les affres du concours auraient pu faire oublier. L'ajout des corrections a eu ainsi pour effet de doubler le volume du tome premier initial. Le présent volume ne concerne que les six premiers chapitres du tome I de la première édition. Dans un deuxième temps, ils publieront une compilation des moments les plus utiles (et agréables ! ) à l'agrégation, extraits des six derniers chapitres du tome I, ainsi que du tome II, le tout, avec la correction des exercices de fin de chapitre.

Le présent ouvrage offre des développements choisis sur le thème de l'algèbre et de la géométrie pour les épreuves d'oral à l'agrégation interne et externe. Il est, pour les auteurs, l'aboutissement de nombreuses années de jury et de préparation aux deux agrégations, et les exercices qui le composent ont tous été testés "en situation réelle". Il s'agit pour la plupart de résultats comportant un intérêt mathématique intrinsèque et passionnant, mais calibrés afin d'être exposés dans une épreuve d'oral. Thématiquement transversaux, ils couvrent tous les programmes actuels des concours en algèbre. Philippe Caldero et Marie Peronnier parcourent ici avec brio et panache les sujets suivants : algèbre linéaire, réduction, formes quadratiques, groupes et actions de groupes en situation géométrique, combinatoire, codes et arithmétique. Les niveaux de difficulté sont balisés, allant de l'agrégation interne à l'agrégation externe, du simple au difficile, du classique à l'original, mais toujours dans l'exercice de style de l'épreuve d'oral. La plume est rigoureuse et se décline sur un mode plaisant et délectable. Pour des raisons de convivialité, ces résultats sont présentés sous forme d'exercices avec corrigés détaillés. Pour chaque thème, les prérequis sont exposés avec des références précises afin d'épauler les candidats durant leur année de préparation. On trouvera à la suite de chaque exercice des éléments d'ouvertures possibles autour du sujet concerné, qui pourront préparer à la discussion avec le jury, ainsi que des alternatives permettant de placer les divers développements au sein d'une autre thématique.