THEORIE POSITIVE DES ENSEMBLES

Les théories positives des ensembles développent l'observation que les ensembles paradoxaux se définissent à l'aide de la négation. Après avoir introduit une notion de positivité plus ou moins libérale, elles postulent que toute formule "positive" définit un ensemble. Olivier Esser part d'une théorie positive existante enrichie par un schéma d'axiomes qui munit toute classe d'une "clôture" ; et il montre que la théorie qui en résulte interprète celle de Kelley-Morse ainsi que l'axiome "la classe des ordinaux est ramifiable" et vice versa. Les résultats qu'il obtient montrent clairement que les théories orthodoxes ont exclu trop d'ensembles. En écartant uniquement ce qui fait problème dans les paradoxes — l'usage de la négation —, il retrouve non seulement les ensembles des théories habituelles mais encore de nombreux autres ensembles qu'on n'avait aucune raison valable d'exclure.