Les suites numériques. L'essentiel pour l'étudiant

Pourquoi les hommes ont-ils une religion? Pourquoi semble-t-elle porteuse de vérité? Pourquoi persiste-t-elle face à la science? Pourquoi conduit-elle à tant d'héroïsme mais aussi à tant d'intolérance? Les interrogations sur la foi, la spiritualité et la place de la pensée religieuse dans notre monde sont éternelles et fascinantes. Mais une question demeure: pourquoi la religion existe-t-elle? Pour la première fois, un chercheur renouvelle entièrement la question de l'origine de la religion.

EN POLITIQUE, TOUT EST BIOLOGIQUE. Pourquoi les débats s'enveniment-ils ? Pourquoi les camps se radicalisent-ils ? Pourquoi suivons-nous des leaders autoritaires quand nous prétendons défendre la raison et la liberté ? Parce que le moteur de la politique, en deçà des programmes, des partis et des institutions, est l'évolution de notre espèce. Selon Pascal Boyer, anthropologue et spécialiste des sciences cognitives, l'évolution biologique explique en effet les illusions de la vie publique : non, nous n'adhérons pas à une idée pour sa cohérence ; non, nous ne choisissons pas les dirigeants les plus compétents ; et non, la démocratie ne faiblit pas par manque d'éducation. Elle échoue car la politique est moins une affaire d'arguments que de signaux moraux, de fidélités partisanes et de dominations masquées. Nos instincts sociaux nous ont permis et nous permettent encore de créer la solidarité et la coopération dans nos communautés - deux traits, uniques à notre espèce, qui sont le fondement des sociétés démocratiques. A l'heure des populismes et de la fracture démocratique, voici le livre essentiel pour comprendre pourquoi nos démocraties trébuchent - et comment leur donner une chance de survivre.

Dans l'histoire de l'humanité, la géométrie a toujours irrigué les sciences et les arts : astronomie, cartographie, architecture, peinture... participant ainsi de l'indéfectible quête de la vérité et de la beauté. L'homme de goût, l'«honnête homme» se doit d'en étudier les fondements, d'en explorer les arcanes. L'auteur du présent ouvrage nous propose, dans cet esprit, de redécouvrir quelques-uns des plus beaux énoncés de géométrie, de l'école grecque à nos jours, en passant par la Renaissance et le XIXe siècle. Pascal Boyer s'appuie délibérément sur l'algèbre linéaire telle qu'elle est enseignée dans les premières années après le baccalauréat. Il présente ensuite les différentes géométries en faisant appel aux groupes et à leurs invariants, selon le point de vue adopté par Félix Klein dans son célèbre «Programme d'Erlangen». Sont ainsi traités la géométrie affine avec le calcul barycentrique, les classiques de la géométrie euclidienne, les géométries inversive et sphérique avec leurs applications cartographiques, la géométrie projective et ses points à l'infini, quelques énoncés inattendus de géométrie hyperbolique et, pour finir, de géométrie algébrique contemporaine. Ce voyage depuis les origines permettra aux lecteurs de se frotter aux classiques théorèmes de Ménélaüs, Céva, Pappus, Desargues, Pascal, Poncelet, à d'autres moins communs, tels les théorèmes de Bolyai, Dehn-Hadwiger et Tarski sur les découpages en dimension 2 et 3, les zigzags entre deux cercles/droites, le théorème de Clifford appliqué à celui de Jiang Zemin, aux problèmes de navigation et triangulation, à la géométrie projective sur F5 et à ses liens avec la configuration de Desargues, aux quadrilatères articulés, etc. Les étudiants motivés, les enseignants, les candidats au CAPES et à l'agrégation et d'une façon générale tous les amoureux de la géométrie trouveront dans cette somme une mine exceptionnelle de résultats et de problèmes, qui montre que cette discipline est loin d'avoir livré tous ses secrets, des plus sensationnels aux plus piquants. Plus de trois cents figures agrémentent les énoncés et font de ce livre un bel objet et une invitation à la joie.

Résumé : Voici un petit compagnon de plus de six cent cinquante pages et qui, en vérité, est un incontestable ouvrage de synthèse pour qui veut appréhender la science des nombres. Après son "Algèbre et géométries" paru dans la collection "Tableau noir", l'auteur, spécialiste en géométrie arithmétique, part ici de l'arithmétique classique étudiée au lycée, avec les congruences et les nombres premiers, et guide ses lecteurs jusqu'aux prérequis à la recherche universitaire, comme la théorie de Galois ou les nombres p-adiques. Des entiers naturels aux équations diophantiennes en passant par les nombres algébriques et transcendants, Pascal Boyer nous offre là un texte d'une beauté et d'une richesse peu communes, où des pépites connues et d'autres qui le sont beaucoup moins sont livrées aux lecteurs à chaque page, ou peu s'en faut. Parfumé de zestes d'élégance et enrichi de cent quarante-huit exercices corrigés, ce cours s'organise en trois grands thèmes. On y étudie d'abord les nombres premiers et la loi de réciprocité quadratique. Une large partie est ensuite consacrée à la théorie des corps (corps finis, corps de nombres, corps de fonctions), et l'on finit avec les applications (équations diophantiennes, cryptographie, théorie des codes). Le livre propose aussi des perspectives originales : addition des cancres, nombres décadiques, nombres surréels, modules de Carlitz, lois de réciprocité supérieure, protocoles cryptographiques... Avec son approche ouverte et récréative de l'arithmétique, le petit compagnon des nombres, qui sait se montrer exhaustif sans se cantonner pour autant aux sentiers battus, sera ainsi utile, voire indispensable, aux étudiants (Licence, Prépas), aux professeurs et à tous les amoureux des mathématiques.