Exercices de Mathématiques 1e et 2e année d'Université. Algèbre, analyse, géométrie

Pendant quatre ans, un cours de philosophie des sciences a été proposé aux étudiants et aux personnels de l'université Pierre et Marie Curie (Paris 6). Il répondait à une attente réelle de la part de ce monde de scientifiques. Chacun cherchait des mises au point sur une science qui semble ne pas " penser " pour reprendre le mot d'Heidegger. Il ne s'agissait pas de proposer une nouvelle vulgarisation scientifique qui a par trop tendance à créer une sorte de mythologie ne cédant en rien à la cosmogonie d'Hésiode. Parler du Big Bang, du chaos par exemple provoque des images qui ne correspondent en rien ni à la réalité ni à son expression par un modèle scientifique. On a vu l'engouement qu'a provoqué l'université de tous les savoir où des scientifiques ont parlé de leur science telle qu'elle se crée. Nous souhaitons ici mettre en perspective les différents domaines de la science (et non pas de la technique) avec un minimum d'outillage philosophique. Notre but sera atteint si les étudiants et toute personne qui souhaite réfléchir à ces problèmes qui interpellent tous les citoyens (par exemple à travers les comités nationaux d'éthique pour ce qui concerne la biologie) trouvent matière à réflexion personnelle. Les perspectives historiques seront présentes car la science se construit dans un contexte sociologique. La maturation des idées se fait au travers d'individus qui sont dans un contexte précis : par exemple, la lutte pour la vie qui sous-tend le darwinisme ne saurait être dissociée de la révolution industrielle de l'Angleterre du XIXe siècle. Ce livre est le résultat de cette expérience qui se prolonge actuellement sur les amphis de la cinquième chaîne de télévision.

Extrait D'où viennent les nombres ? Les nombres sont apparus avant les lettres pour des raisons évidentes. Les premiers élevages de moutons puis de chèvres sont attestés en Irak du Nord au moment de ce que l'on a appelé la «révolution du néolithique» vers 8000 avant J.-C. L'élevage du porc et du boeuf est présent sur le site de Nea Nikomedia en 6200 avant J.-C. tandis que les objets en poterie et les bijoux se multiplient. On peut imaginer que, pour simplement être sûr du nombre de bêtes ou pour faire du troc, les éleveurs avaient établi une numération qui pouvait s'articuler sur leurs doigts. La main a été de tous temps un moyen de dénombrement très efficace, et tous les peuples y ont eu recours à un moment ou un autre de leur histoire. Certains pensent, par exemple, que les fameuses mains aux doigts repliées de la grotte Cosquer et dans d'autres lieux seraient des indications de représentations de nombres voire de calculs. Par des méthodes ingénieuses, utilisés en Russie, en Inde ou en Turquie, on peut effectuer des multiplications grâce à ses dix doigts, et les Chinois avaient même mis au point un système extrêmement astucieux pour compter jusqu'à cent mille sur une main, et jusqu'à dix milliards sur les deux ! Mais la représentation symbolique des nombres sous forme de dessins autres que des bâtons verticaux ou horizontaux et l'élaboration d'opérations sur ces symboles demanda du temps. Depuis bien longtemps, les hommes ont utilisé des moyens détournés pour se représenter les nombres et les quantités. Ainsi, aux alentours du cinquième millénaire, en Abyssinie, on raconte que les chefs militaires avaient une manière particulière de compter les soldats tombés au combat. Avant la bataille, on demandait à chaque soldat de déposer un caillou sur un tas. Après les combats, les survivants venaient reprendre un caillou du tas constitué précédemment. En évaluant le tas de pierres restantes, on pouvait connaître le nombre de guerriers tués ou disparus durant la bataille. Le dénombrement pouvait se révéler fastidieux et on introduisit des pierres qui tenaient le rôle de plusieurs d'entre elles : par exemple une grosse pierre représentait soixante petites pierres. On sait que le nombre 60 était un nombre magique qui continue à être bien présent dans la vie de tous les jours avec les 60 secondes dans une minute et 60 minutes dans une heure ! Les calculs se trouvaient simplifiés mais la lourdeur des cailloux et surtout de leur utilisation rirent qu'à Elam et en Mésopotamie, on a commencé à résoudre ce problème, en utilisant des boules de glaise que l'on creusait avec le pouce et dans le creux ainsi formé, on y logeait des «calculi» : des bâtonnets qui valent 1, des billes qui valent 10, des cylindres qui valent 100, des cônes qui valent 300. Ces boules étaient ensuite cuites et pour voir ce qu'elles contenaient on les brisait comme on le fait avec les petits cochons roses qui renferment nos économies. Mais pour gagner du temps, on finit par écrire le contenu sur la boule et il n'était plus nécessaire de les casser pour avoir la valeur de la transaction. La symbolique des nombres apparaissait et il ne fallait plus qu'un pas pour que ce soit des symboles qui les représentaient sur de la terre glaise, sur des tablettes qui vinrent remplacer ces objets toujours encombrants. (...)

La philosophie des sciences participe de la culture scientifique de tout un chacun. Elle explicite au travers de l'élaboration des concepts dans leur contexte historique les sous- entendus qui sont rarement mis en évidence. Par exemple, les fameux changements de paradigmes de Popper sont-ils des bifurcations brutales dans la compréhension du Monde ? Ne sont-ils que de lentes progressions au travers des méandres de la pensée humaine qui s'interroge à la suite de Leibniz : " pourquoi y-a-t-il quelque chose plutôt que rien " ? Mais la " science ne pense pas " comme Heidegger se plaisait à le rappeler. Le philosophe doit donc décortiquer les a priori des scientifiques et la manière dont ils tentent de vulgariser leurs résultats ; car certains sont pris par une velléité de tout expliquer mais des résultats comme le théorème de Gödel viennent leur rappeler un au-delà de la science.