Analyse pour l'agrégation. Cours et exercices corrigés, 5e édition

Ce livre présente les notions et définitions de base de la topologie. Dans cette 6e édition, les concepts sont introduits de façon plus progressive pour s'adapter aux besoins des étudiants, des exercices corrigés ont été renouvelés et des conseils méthodologiques d'aide à la résolution des exercices ont été ajoutés. Un nouveau chapitre sur les espaces normés de dimensions finies complète l'ouvrage.

Cet ouvrage a été rédigé de manière à pouvoir être utilisé à plusieurs niveaux : dès le niveau L3, avec les notions et définitions de base, certains passages pouvant être omis en première lecture ; aux niveaux M1-M2 et préparation à l'agrégation ensuite, avec un approfondissement de notions plus délicates. Le caractère transversal de la topologie est souligné (théorème A + B de Steinhaus, existence de racines n-ièmes selon Körner, lemme de recouvrement de Vitali, lemme de Zabrejko, etc.). De nombreuses figures facilitent la compréhension du texte et chaque chapitre est suivi d'exercices corrigés et commentés en détail. Dans cette 7e édition, de nouveaux problèmes et exercices ont été ajoutés.

Hervé Queffélec est professeur à l'Université de Lille 1. Ses travaux portent sur l'analyse fonctionnelle et harmonique, ainsi que sur les méthodes probabilistes en analyse. Il est l'auteur de plusieurs livres, parmi lesquels "Topologie" (Dunod), et coauteur avec Claude Zuily de "Analyse pour l'agrégation", (Dunod). Denis Choimet est professeur en classes préparatoires MP au Lycée du Parc à Lyon. Les dessins sont dus au talent de Michaël Monerau.

Le plus court chemin entre deux vérités réelles passe souvent par le domaine complexe", telle est la réflexion de Paul Painlevé qui a servi aux auteurs de fil rouge dans le présent ouvrage. Les prérequis se limitent à une bonne familiarité avec l'Analyse enseignée en deuxième année d'université. L'ouvrage est destiné aux étudiants de L3, M1-M2 et aux agrégatifs, qui pourront l'utiliser à divers niveaux. De nombreux exercices corrigés avec soin (environ cent cinquante) viennent compléter le cours proprement dit et faciliter la tâche de l'étudiant. Par ailleurs, une bonne cinquantaine de figures aide grandement à la compréhension de l'ensemble. Martine et Hervé Queffélec, pédagogues de grand renom, nous offrent ici un texte original, qui renouvelle l'enseignement d'un sujet classique, et qui vient s'ajouter aux meilleurs livres en le domaine. Le point de départ est la fonction exponentielle complexe, petit bijou mathématique s'il en est. Les auteurs revisitent aussitôt après les polynômes, qui sont la version pour enfants des fonctions holomorphes, et qui laissent apparaître beaucoup de phénomènes fondamentaux : analyticité, propriété de la moyenne, principe du maximum, etc. L'approche adoptée devient dès lors claire, partir du plus simple pour arriver confortablement au plus profond. Les moments clés sont évidemment la formule de Cauchy et le théorème des résidus. Et, comme tout le monde le sait, une fois établie l'équivalence holomorphie-analyticité, les récompenses pleuvent ! Produits infinis, transformations conformes, polynômes orthogonaux, mais aussi des applications en Analyse fonctionnelle (sous-espaces invariants et théorème de Titchmarsh, théorèmes de Fuglede, Lidskii,...), en Théorie des nombres (nombres de Pisot,...) et en Probabilités (problème des moments...), etc.