Systèmes dynamiques. Une introduction

Découverte en 1810 par les mathématiciens Louis Lagrange et Siméon Denis Poisson lors de l'étude de la variation lente des éléments orbitaux des planètes du système solaire, la géométrie symplectique est la structure géométrique de l'espace des phases de tout système mécanique classique. Elle joue aujourd'hui un rôle important aussi bien en mathématiques pures que dans les applications des mathématiques en mécanique et en physique. L'auteur du présent livre en donne une présentation détaillée, accessible aux étudiants plus ou moins débutants, et traite aussi des structures de contact, proches parentes des structures symplectiques. Certains développements récents apparus au cours du vingtième siècle, comme les structures de Poisson, les structures de Jacobi et les algébroïdes de Lie, sont également présentés. Les quelques notions d'algèbre et de géométrie différentielle nécessaires pour une bonne compréhension de l'ouvrage sont soigneusement rappelées dans deux annexes. Chaque chapitre comporte des exercices, tous résolus. Le texte que Charles-Michel Marle nous offre ici se distingue par une rigueur et une précision dont on trouve peu d'exemples comparables de nos jours... Le résultat est a la hauteur du travail opiniâtre que cela a nécessité. Charles-Michel Marle contribuera ainsi, sans aucun doute, à susciter auprès du plus grand nombre la curiosité à l'égard de ce fascinant territoire,voire à faire naître des vocations et de nouvelles passions pour cette jolie et noble branche des mathématiques.

Cette seconde e ? dition diffe`re de la premie`re principalement par un traitement plus complet des varie ? te ? s de contact : la symplectification d'une varie ? te ? de contact et les proprie ? te ? s des sous-varie ? te ? s de Legendre d'une varie ? te ? de contact sont pre ? sente ? es. Le chapitre traite des espaces vectoriels symplectiques. Le deuxième pre ? sente les varie ? te ? s pre ? symplectiques, symplectiques et de contact, ainsi que leurs principales proprie ? te ? s, dont le the ? ore`me de Darboux. Les relations de la ge ? ome ? trie symplectique avec le calcul des variations font l'objet du troisie`me chapitre. Les varie ? te ? s de Poisson sont pre ? sente ? es au quatrie`me chapitre, ainsi que les varie ? te ? s de Jacobi. Les questions lie ? es aux actions de groupes de syme ? tries sur les varie ? te ? s symplectiques ou de Poisson, notamment l'importante notion de moment d'une action hamiltonienne, sont expose ? es dans le cinquie`me et dernier chapitre. Les connaissances d'alge`bre et de ge ? ome ? trie diffe ? rentielle utiles pour une bonne compre ? hension de ce livre sont brie`vement re ? sume ? es dans deux annexes.

La collection Mathématiques 2e cycle se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence 3ème année et de master de mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des grandes écoles. Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels, et de nombreux exercices. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur.

Collection dirigée par Charles-Michel Marle et Philippe Pilibossian.Cette collection se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence et de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant l?essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l?agrégation, ainsi qu?aux élèves des grandes écoles.Les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels, et de nombreux exercices corrigés.Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l?enseignement des mathématiques au niveau supérieur.