Arithmétique modulaire. Applications, exemples et exercices corrigés

Pendant plusieurs siècles, l'arithmétique a été une discipline avec peu d'applications importantes et de ce fait son enseignement était tombé en désuétude aussi bien dans les écoles d'Ingénieurs qu'à l'université. Le développement des transmissions et en particulier d'Internet ont suscité un intérêt croissant pour cette discipline. L'arithmétique est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux nombres entiers. Elle a passionné les mathématiciens, dont Lagrange, Fermat. Des applications pratiques ont été trouvées, par exemple en agriculture, mais elles restent assez peu nombreuses avec cependant quelques exceptions relatées dans cet ouvrage : codes correcteurs d'erreurs et chiffrement, codes secrets pour la transmissions d'informations importantes comme le paiement par Internet. Ce livre ne prétend surtout pas être un livre théorique, mais cherche seulement à rassembler divers théorèmes et à montrer des problèmes amusants que l'on peut rencontrer dans cette discipline.

L'Arithmétique classique existe depuis l'Antiquité. Elle s'est développée au long des siècles. Pierre de Fermat l'a marquée de son empreinte. Gauss a beaucoup développé l'arithmétique modulaire notamment avec la notion de congruences, de résidu quadratique, etc., et a démontré de nombreuses propriétés dans ce domaine. Pendant environ deux siècles, cette discipline s'est développée sans aucune application concrète. La seconde moitié du XXe siècle a été caractérisée par l'arrivée de nombreuses applications dont la cryptographie et, dans une moindre mesure, les techniques de codes correcteurs d'erreurs qui sont maintenant très utilisés en transmission. Divers problèmes amusants se traitent assez facilement avec ces techniques. L'arithmétique modulaire est également utilisée pour démontrer des propriétés de l'arithmétique classique, ce qui explique certains liens entre les deux tomes qui se complètent. Les deux premiers chapitres ne font pas tout à fait partie de l'arithmétique modulaire : les entiers complexes et les fonctions arithmétiques. Le premier est destiné à montrer l'une des ouvertures possibles de l'arithmétique classique. En revanche certaines fonctions arithmétiques dont l'indicatrice de Gauss sont très utiles pour certaines démonstrations. Les dix-sept autres chapitres sont centrés sur l'arithmétique modulaire et ses applications. Cette discipline est souvent présentée sous une forme difficile à assimiler et même rebutante, en partie à cause du vocabulaire utilisé et en grande partie par la quasi- absence d'exemples et d'exercices. Pour ces raisons, l'auteur a délibérément choisi de privilégier l'aspect pédagogique avec de nombreux exemples et exercices avec corrigés quitte à omettre des démonstrations trop longues ou trop difficiles. Une ouverture vers la cryptographie permet de comprendre l'intérêt de cette discipline. Tome I : L'arithmétique classique.

L'arithmétique classique existe depuis l'Antiquité, et s'est développée tout au long des siècles. Pierre de Fermat l'a marquée de son empreinte. Gauss a beaucoup développé l'arithmétique modulaire notamment avec les notions de congruences, de résidu quadratique, etc. et a démontré de nombreuses propriétés dans ce domaine. Pendant environ deux siècles, cette discipline s'est développée sans aucune application concrète. La seconde moitié du XXe siècle a elle été caractérisée par l'arrivée de nombreuses applications dont la cryptographie et, dans une moindre mesure, les techniques de codes correcteurs d'erreurs qui sont maintenant très utilisées en transmission. Cette arithmétique s'est immiscée un peu sournoisement dans notre vie courante : numéro de sécurité sociale, transmissions sécurisées par Internet pour les transferts d'argent, et bien d'autres choses encore. Divers problèmes amusants se traitent assez facilement avec ces techniques. L'arithmétique modulaire tome III est également utilisée pour démontrer des propriétés de l'arithmétique classique, ce qui explique les liens entre ces trois tomes complémentaires. Ce tome III présente de nombreuses notions : les congruences, les polynômes en arithmétique modulaire, les résidus quadratiques, cubiques et biquadratiques, les symboles de Legendre et de Jacobi, les racines primitives, le logarithme discret, les équations en arithmétique modulaire, les grands nombres premiers et pseudo-premiers et une ouverture vers la cryptographie. Cette discipline est souvent présentée sous une forme difficile à assimiler, et même parfois rebutante, en partie à cause du vocabulaire utilisé et en grande partie par la quasi-absence d'exemples et d'exercices. Pour ces raisons, l'auteur a délibérément choisi de privilégier l'aspect pédagogique avec de nombreux exemples et exercices corrigés quitte à omettre certaines démonstrations trop longues ou trop difficiles.

Jean-Pierre Lamoitier a mené parallèlement une carrière d'ingénieur en informatique et d'enseignant dans différentes écoles d'ingénieurs, ce qui explique sa recherche d'une bonne vulgarisation associée à un souci de rigueur mathématique.