Les qanats : une technique d'acquisition de l'eau

La collection Mathématiques à l'Université se propose de mettre à la disposition des étudiants de troisième, quatrième et cinquième années d'études supérieures en mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront aussi être utiles aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des grandes écoles. Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels et de nombreux exercices. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur. Ce livre s'adresse aux étudiants de seconde, troisième et quatrième années d'études universitaires en mathématiques et aux candidats à l'Agrégation. Son étude ne nécessite pas de connaissances préalables en Algèbre linéaire autres que les quelques notions de base généralement acquises lors de la première année d'études universitaires (définitions d'un espace vectoriel sur un corps commutatif, d'une application linéaire). Le sujet traité est l'étude de l'Algèbre linéaire des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif. Cependant, l'auteur ne s'est pas strictement limité à ce cadre ; les modules sur un anneau (pas nécessairement commutatif) sont également présentés, car certaines situations fréquemment rencontrées font appel à cette notion. La démarche choisie par l'auteur consiste à étudier d'abord les situations les plus élémentaires, puis à explorer les domaines connexes plus généraux. L'éclairage nouveau ainsi apporté au sujet permet souvent une compréhension plus approfondie de la situation particulière initialement étudiée. L'auteur s'est attaché à présenter des applications de l'Algèbre linéaire à la Géométrie. Ces applications, qui toutes font partie du programme de l'Agrégation, contribueront au décloisonnement et au retour de la Géométrie dans la culture mathématique. Elles donnent aussi un contenu concret à des énoncés algébriques abstraits. Une grande importance a été donnée à la notion de groupe, dont les étudiants ont souvent une conception très formelle. Un chapitre entier lui est consacré, ruais cette notion apparaît aussi dans plusieurs autres chapitres, tout au long du livre.

La " crise " des fondements des mathématiques a commencé à se faire sentir vers la fin du XIXe siècle. Elle semblait être due pour une grande part à l'ambiguïté du langage courant. La nécessité d'un formalisme plus rigoureux devenait très vite pressante. Le travail qui s'ensuivit fut ainsi à l'origine du paradigme axiomatico-ensembliste que les mathématiciens continuent à utiliser de nos jours. L'auteur du présent livre propose une introduction réfléchie à cet effort auquel se sont associés d'éminents mathématiciens et philosophes. Rémi Goblot s'adresse en priorité au large public des personnes intéressées par les questions philosophiques et interpellées par l'apparent hermétisme des mathématiques. Il s'agit donc d'un livre d'initiation, non de vulgarisation. Aucune connaissance particulière n'est requise, si ce n'est les mathématiques enseignées dans les cycles primaire et secondaire. En dépit de tous ses efforts pour aplanir les difficultés, la lecture de ce texte demande un travail important pour qui est étranger a la pratique mathématique. Rémi Goblot adopte ici, sans ambages, une position " platonicienne ". Selon lui, la rencontre avec un nouvel être mathématique se fait de façon tâtonnante et intuitive. Cette première exploration permet souvent d'obtenir beaucoup d'informations. Il faut ensuite les énoncer clairement, les classer et les insérer dans le corpus des connaissances antérieures. Jusqu'à la fin du XIXe siècle, la recherche mathématique s'est faite sur un mode " naïf ", ce qui n'exclut pas la rigueur. Les notions premières (par exemple celle de nombre entier) étaient considérées comme allant de soi, faisant partie de notre entendement. Ce processus d'abord de découverte tâtonnante, puis de mise au point formelle, semble conforter les convictions platoniciennes de Rémi Goblot sur l'existence des choses mathématiques, découvertes plutôt que créées. Les lecteurs qui auront pris la peine d'accompagner l'auteur dans son exposé en jugeront !