Algèbre et géométrie. 81 thèmes pour l'agrégation de mathématiques

Résumé : Cet ouvrage comprenant 150 exercices s'adresse aux étudiants de premier cycle ainsi qu'à ceux de licence ou de maîtrise de mathématiques. Il se révélera un outil particulièrement utile pour le candidat aux concours du CAPES ou de l'agrégation. La notion d'Espace quadratique en est la base et se déclinera de deux façons : avec les espaces vectoriels réels et les espaces vectoriels complexes. Un espace quadratique est un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire symétrique, i.e. la donnée d'un polynôme homogène de degré 2. Cela conduit à la notion d'orthogonalité, de bases orthogonales qui seront déterminées par l'algorithme de Gauss. La décomposition d'un espace quadratique en somme directe orthogonale d'un hyperbolique et d'un défini est démontrée. Le groupe orthogonal, i.e. le groupe des automorphismes qui préservent la forme bilinéaire symétrique est décrit, en particulier par les générateurs simples que sont les symétries orthogonales hyperplanes. Les espaces quadratiques réels sont parfaitement classifiés par la loi d'inertie de Sylvester. L'Espace vectoriel euclidien est l'espace pour lequel la forme bilinéaire symétrique induit une norme, il est abordé de façon élémentaire. Tout automorphisme orthogonal se réduit essentiellement à des rotations en dimension 2 et ici la notion d'angle permet une description concrète ; celle-ci est particulièrement achevée en dimension 2 et 3. Les propriétés topologiques du groupe orthogonal, son groupe dérivé et les sous-groupes distingués sont déterminés. Les propriétés de réduction des endomorphismes normaux, symétriques et anti-symétriques sont présentées avec leurs conséquences. Il n'y a pas de forme bilinéaire symétrique qui induise sur un espace vectoriel complexe une norme, aussi faut-il, pour cet objectif, y introduire la notion de forme hermitienne. Celle qui induit une norme conduit à la notion d'Espace vectoriel hermitien avec un certain nombre de propriétés analogues au cas euclidien. Le groupe unitaire, i.e. le groupe des automorphismes qui préservent la structure hermitienne est facile à étudier puisque ceux-ci sont orthogonalement diagonalisables. Les endomorphismes normaux, hermitiens, anti-hermitiens ont aussi leur place ici et les présentations sont analogues au cas euclidien. Les exercices qui terminent chaque chapitre abordent des sujets qui intéresseront le lecteur curieux et aiguiseront sa sagacité ; on pourra y trouver la décomposition polaire, de Cartan ou d'Iwasawa, les théorèmes de Bieberbach sur les groupes cristallographiques, les homomorphismes de groupes euclidiens, unitaires, et beaucoup de résultats sur les sous-groupes de Gln (C).

L'ouvrage s'adresse aux étudiants de premier cycle, de licence ou de maîtrise de mathématiques, et constitue un excellent outil pour les candidats aux concours du CAPES et de l'agrégation. Les notions classiques sont abordées de façon élémentaire et rigoureuse : anneau, corps, homomorphisme, idéal, anneau quotient, idéal premier, idéal maximal, localisation, modules, algèbres, anneau de polynômes, anneau des séries formelles, modules et anneaux n?thériens, anneau factoriel, extensions entières d'anneaux, extensions transcendantes de corps. Les résultats de base sont démontrés : propriétés de l'anneau principal, théorèmes de Galois, théorème de transfert aux anneaux de polynômes, théorème des zéros de Hilbert, critère d'Eisenstein, théorème de Lüroth, propriétés des polynômes symétriques et du résultant. Chaque chapitre se termine par des exercices permettant d'aboutir à des résultats nouveaux : le petit théorème de Fermat, celui de Wilson, les nombres de Mersenne, de Fermat, les nombres parfaits, le théorème de Sturm, la règle des signes de Descartes, le théorème de d'Alembert-Gauss, l'indépendance des caractères (Artin), les extensions kummeriennes, les extensions d'Artin-Schreier, les quaternions de Hamilton, les nombres de Liouville, un théorème de Krull sur les anneaux n?thériens, la topologie de Zariski, le corps des fonctions elliptiques, la sphère de Riemann, les algèbres géométriquement intègres, les algèbres réduites, un revêtement cyclique de la droite projective... Au total, 260 exercices qui font l'originalité de l'ouvrage.

Les notions classiques sont abordées de façon élémentaire et rigoureuse : groupe, sous-groupe, sous-groupe distingué, groupe quotient, groupe cyclique, produit direct, somme restreinte, somme directe de groupes, produit semi-direct de groupes, groupe opérant sur un ensemble, groupe libre, produit libre de groupes, groupe défini par générateurs et relations. Les résultats de base sont démontrés : structure du groupe alterné An, célèbres théorèmes de Sylow, suite dérivée, suite centrale descendante en relation avec les groupes résolubles ou nilpotents à la structure des groupes abéliens de type fini est complètement élucidée par des opérations élémentaires sur les lignes et colonnes d'une matrice. Le dernier paragraphe, le plus riche et le plus original, regroupe 75 exercices dont certains, faciles, permettent de se familiariser avec des groupes finis d'ordre "petit" . D'autres exercices rencontrent des groupes célèbres provenant de la géométrie, de l'algèbre linéaire et de l'arithmétique, comme les groupes de polyèdres réguliers en dimension 3, les fameux groupes de Coxeter, le groupe fondamental d'une surface de Riemann, les célèbres théorèmes de Schur, Burnside et Jordan sur les sous-groupes finis de Gln(C). Cet ouvrage s'adresse aussi bien aux étudiants de premier cycle que de licence ou de maîtrise de mathématiques. C'est également un outil particulièrement utile pour les candidats aux concours du CAPES et de l'agrégation.

Résumé : Riche de 200 exercices et de 600 figures, cet ouvrage s'adresse non seulement aux étudiants en licence et en master, mais également aux esprits les plus fertiles intéressés à découvrir les beautés d'une des sciences les plus anciennes et les plus solides. Abordant une vision claire, accessible à tout étudiant doté des rudiments de l'algèbre linéaire et bilinéaire de la licence, cet ouvrage, destiné aux candidats au concours du CAPES et de l'agrégation, comporte quatre chapitres : La géométrie affine, qui introduit les espaces affines, les variétés linéaires, le calcul barycentrique et les applications affines ; La géométrie projective, qui conduit à un espace de compactification naturelle de l'espace affine. C'est le cadre nécessaire pour l'étude en profondeur des cas d'exceptions rencontrés dans les énoncés affines ; la belle théorie des coniques projectives y suffit à elle seule pour convaincre de l'élégance et de la puissance de l'outil projectif ; La géométrie euclidéenne, plus connue, est ici davantage étoffée. Y sont traitées les géométries des formes classiques et la détermination des cinq polyèdres réguliers en dimension 3 et La géométrie non euclidéenne, qui sourd du cinquième axiome des parallèles de la géométrie d'Euclide, est traitée dans le sillage des deux mille ans d'interrogation des mathématiciens. Pour cette troisième édition, le corpus des exercices a été profondément remanié.