MATHS AVEC MAPLE. Tome 1, Présentation générale

Cette collection "Maths avec Maple" est destinée à améliorer la productivité du lecteur dans le domaine des mathématiques, tout en accumulant une expérience suffisamment large dans le domaine informatique pour pouvoir en abstraire les théories nécessaires. Le tome 1 de la collection, consacré à une présentation générale du calcul formel, a été organisé autour de corrigés des exercices du Concours Général 1990-1995. Pour ce tome 2, l'auteur a voulu disposer à nouveau d'un fil conducteur permettant d'explorer des domaines variés des mathématiques, tout en restant accessible à un large Public scientifique. Le thème fédérateur du présent livre est l'étude des familles de polynômes orthogonaux. Les résultats classiques concernant ces polynômes sont exposés et mis en relation les uns avec les autres, permettant de fructueux allers-et-retours entre l'Algèbre et l'Analyse. Chaque calcul est examiné dans ses détails techniques, tout en mettant en évidence les questions sousjacentes d'informatique théorique. En outre, les mécanismes mis en oeuvre par les outils de calcul formel sont illustrés par la construction détaillée d'une bibliothèque complémentaire, étendant les fonctionnalités du logiciel. Un livre et une série qui intéresseront tous ceux qui font professionnellement des mathématiques, et en particulier les élèves de Prépa : l'une des applications des polynômes orthogonaux n'est-elle pas de peupler les sujets des Concours ? SOMMAIRE Chapitre I. Maple V4, un survol. 1. Fenêtres Maple ; 2. Feuilles de calcul ; 3. Documentation Maple ; 4. Deux utilitaires ; 5. Les beaux dessins ; 6. Fonction génératrice des polynômes de Gegenbauer. Chapitre II. Exercices de révision (Concours général 1996). 1. Geometry version 4, un naufrage ; 2. Excroissances carrées sur un triangle ; 3. Période et orbites ; 4. Tétraèdres quadri-rectangles ; 5. Etude d'une fonction de deux variables ; 6. Un problème de dénombrement. Chapitre III. Quelques rappels d'algèbre linéaire et quadratique. 1. Algèbre linéaire ; 2. L'exemple des polynômes ; 3. Listes chaînées, listes contiguès ; 4. Vecteurs et Maple V4 ; 5. Produit scalaire sur un espace vectoriel réel ; 6. Réduction des formes quadratiques ; 7. Les deux piliers de la sagesse. Chapitre IV. Polynômes de Legendre (approche expérimentale). 1. Présentation ; 2. Quelques propriétés algébriques ; 3. Quelques propriétés analytiques. Chapitre V. Formalisme de Rodriguès. 1. La bibliothèque Xdiff ; 2. La formule de Rodriguès ; 3. Polynômes de Douillet ; 4. Formules de récurrence ; 5. Construction d'un moteur d'inférences ; 6. Passage aux séries génératrices ; 7. Utilisation des séries génératrices. Chapitre VI. Les familles usuelles de polynômes orthogonaux. 1. Polynômes de Legendre ; 2. Polynômes de Laguerre ; 3. Polynômes de Hermite ; 4. Polynômes de Chebyschev ; 5. Polynômes de Gegenbauer ; 6. Polynômes de Douillet. Chapitre VII. Propriétés analytiques des polynômes orthogonaux. 1. A propos des changements de variables ; 2. Spécificité des polynômes de Chebyschev ; 3. Etude de la solution de Lagrange ; 4. Recherche d'un changement de variable ; 5. Formules asymptotiques ; 6. Résultats asymptotiques pour les polynômes de Hermite. Chapitre VIII. Un peu de trigonométrie. 1. Formule de Moivre ; 2. Retour aux polynômes de Chebyschev ; 3. Noyaux de Dirichlet et de Fejer. Chapitre IX. Quelques compléments. 1. A propos de l'intégrale de Gauss ; 2. Formule de Stirling ; 3. Loi binomiale et loi normale ; 4. Equation hyper-géométrique de Gauss ; 5. Application aux polynômes de Chebyschev et de Gegenbauer ; 6. Application aux polynômes de Legendre. Bibliographie. Index