Aux frontières des mathématiques. Kurt Gödel et l'incomplétude

Le nombre ? est une star incontournable, omniprésente en mathématiques et en physique comme dans la culture populaire. Et c'est à juste titre ! On a très tôt cherché à l'apprivoiser. La quadrature du cercle a suscité bien des efforts, même après que l'on a prouvé son impossibilité. Et sur l'océan des décimales de ? se défient aujourd'hui d'étranges navigateurs, faisant appel tant à l'informatique qu'aux mathématiques. Ce livre retrace l'histoire de son exploration, en insistant sur les épisodes les plus récents qui nous font percevoir tout le mystère de ce nombre : plus on connaît ?, plus il se dérobe.

Les mathématiques sont une double source de mystères. D'une part, elles se posent de nombreuses questions qu'elles ne réussissent pas à résoudre ou qu'elles résolvent de manière partielle : énigmes résistantes à toutes les attaques, objets ou situations aux propriétés bizarres, paradoxes... D'autre part, les mathématiques créent de l'inconnu, car elles inventent des méthodes engendrant à la demande des " mystères parfaits" : ce sont les codes secrets, et plus généralement les merveilles de la cryptographie moderne. Ce livre vous propose de vous révéler quelques arcanes de ces mystères. Comment prouver que l'on connaît un secret sans le révéler ? La beauté se met-elle en formules ? Peut-on poser à plat une table de pique-nique carrée en toutes circonstances ? Un être omniscient est-il possible d'un point de vue logique ? Et un être omnipotent ? Comment expliquer le succès du Bitcoin, une monnaie cryptographique qui vaut aujourd'hui l'équivalent de plusieurs milliards d'euros ? Un humain est-il capable de placer un point dans une figure "au hasard" ? Qu'est-ce qu'une équation impossible ? Autant de sujets déconcertants et passionnants que les chercheurs explorent, pour le simple plaisir de se confronter à la magie des choses formelles et logiques... ou parce que c'est utile ! Composés à partir d'articles de la rubrique "Logique et calcul" qui paraît chaque mois dans la revue Pour la science, les 22 chapitres de ce livre vous feront découvrir différentes facettes de cette aventure jamais interrompue des mathématiques. A vous de parcourir à votre guise ce petit panorama des mystères de la discipline, dans l'ordre ou dans le désordre... et de rejoindre le petit groupe des initiés !

Les mathématiques sont-elles austères ? Loin de là ! Souvent facétieux, les mathématiciens sont les premiers à jouer avec les chiffres, les cartes, les dés, les devinettes et les casse-tête en tous genres. Car jouer, c'est presque toujours rencontrer et pratiquer des mathématiques. Battre un jeu de cartes est une activité que nous effectuons tous avec plus ou moins d'adresse. Mais que valent les mélanges obtenus ? Et une fois assis à côté d'adversaires devant une table de poker, comment jouer parfaitement ? Vous préférez vous mesurer à un ordinateur : est-il possible de le battre au jeu de dames ? Et aux échecs ? Peut-être êtes-vous plus fort en pliage... alors saurez-vous construire la racine cubique de 2 avec un origami ? Autant de questions sur lesquelles des mathématiciens se sont penchés avec profit ! Il en est sorti d'incroyables résultats que cet ouvrage expose en évitant les aspects techniques. Composés à partir d'articles de la rubrique " Logique et calcul " qui paraît chaque mois dans la revue Pour la Science, les 20 chapitres de ce livre vous convient à découvrir les derniers jeux des mathématiciens tout en vous amusant. A vous de relever le défi !

La logique mathématique, la théorie des ensembles, l'arithmétique des grands entiers et les généralisations de la théorie des nombres sont quelques-uns des domaines mathématiques qui se sont fixés l'ambition de créer et de maîtriser le plus possible de choses et de concepts pour composer une théorie du TOUT. Celle-ci devra être rationnelle, rigoureuse et sans contradiction... Car bien sur les mathématiciens ne peuvent tolérer la moindre incohérence. Ont-ils réussi à créer de telles théories du TOUT ? Plus qu'on ne l'imagine, et si nul ne prétend être arrivé au bout de la route, il ne fait aucun doute que le XXe siècle a fait progresser cet assaut contre l'infini et le plus qu'infini. Ce livre raconte l'histoire des ambitions apparemment déraisonnables des mathématiciens qui veulent penser le TOUT et en produire la théorie ultime. Cependant l'ouvrage tente de le faire en s'amusant. Il contient donc à la fois des choses légères parfois de simples divertissements mathématiques, des analyses de type philosophique, des spéculations débridées et, par endroits, sans qu'on soit obligé de les lire, quelques détails destinés aux lecteurs disposés à un effort technique. Les chapitres sont indépendants les uns des autres.