Mathématiques MPSI-PCSI. Cours complet avec exercices corrigés, Algorithmique en Scilab, Programme 2

Ce manuel présente la partie Analyse et Géométrie différentielle des programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles MPSI et PCSI. Il s'adresse donc aux étudiants de ces classes ainsi qu'à ceux des premiers cycles scientifiques des universités. Il pourra aussi rendre service aux candidats aux concours de recrutement, CAPES et agrégations interne et externe. Cet ouvrage est constitué: - d'un exposé du cours et de ses démonstrations; - d'un grand nombre d'exemples et exercices.Les uns, présents dans le corps de l'exposé, sont corrigés et montrent des applications et des techniques qu'il convient de maîtriser au même titre que le cours. Les autres, non corrigés, sont en fin de chapitre et doivent faire l'objet de recherches. Conformément aux programmes 2003, on commence par un exposé sur les fonctions usuelles, les équations différentielles linéaires du premier ordre et du second ordre (à coefficients constants), ceci dans leur double version continue et discrétisée par la méthode d'Euler, puis par l'étude et la construction des courbes paramétrées, et notamment des coniques. Dans une seconde partie, on approfondit l'analyse à une variable avec les notions de limites, de continuité, de dérivabilité, puis avec le calcul différentiel et intégral et ses applications aux développements limités et à l'étude métrique des courbes planes. Dans une dernière partie, on s'initie enfin à l'analyse à plusieurs variables avec les fonctions de Rp dans R (ou champs de scalaires), les intégrales multiples, et enfin quelques notions sur les fonctions de Rp dans Rp (ou champs de vecteurs) et les intégrales curvilignes. Biographie de l'auteur Gérard Debeaumarché est professeur de mathématiques spéciales en MP* au Lycée Clemenceau (Reims).

Faisant suite à Analyse et Géométrie différentielle, ce volume Algèbre et Géométrie présente l'autre partie des programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles MPSI et PCSI. Il s'adresse donc aux étudiants de ces classes ainsi qu'à ceux des premiers cycles scientifiques des universités. Il pourra aussi rendre service aux candidats aux concours de recrutement, CAPES et agrégations interne et externe. Cet ouvrage est constitué d'un exposé du cours et de ses démonstrations, d'un grand nombre d'exemples et exercices. Les uns, présents dans le corps de l'exposé, sont corrigés et montrent des applications et des techniques qu'il convient de maîtriser au même titre que le cours. Les autres, non corrigés, sont en fin de chapitre et doivent faire l'objet de recherches. Conformément aux programmes, on débute par un exposé sur les nombres complexes, avec la question de la mesure des angles orientés, sur la géométrie élémentaire du plan, avec le produit scalaire, le produit mixte ainsi que leurs applications à l'étude des droites et cercles, et sur la géométrie dans l'espace avec le produit scalaire, le produit vectoriel, le produit mixte et leurs applications à l'étude des plans, droites et sphères. Après avoir ensuite introduit quelques notions à propos des ensembles, des applications et des structures élémentaires, on passe à l'étude des entiers et de l'arithmétique dans Z, des polynômes et de l'arithmétique dans K [X], et des fractions rationnelles. L'algèbre linéaire, avec la théorie des espaces vectoriels, notamment en dimension finie, des applications linéaires, des matrices, des déterminants, des systèmes linéaires, occupe une part importante de l'ouvrage, qui s'achève par l'étude des espaces euclidiens, puis des automorphismes orthogonaux et des isométries du plan et de l'espace.

Ce manuel présente la partie Analyse des programmes 2004 des classes de spéciales MP/MP*. Il s'adresse donc aux étudiants de ces classes ainsi qu'à ceux des premiers cycles scientifiques des universités. Il pourra aussi rendre service aux candidats aux concours de recrutement, CAPES et agrégations interne et externe. Ce livre est constitué : d'un exposé du cours et de ses démonstrations ; d'un grand nombre d'exemples détaillés, d'exercices corrigés et non corrigés. L'ouvrage débute par l'introduction des notions de normes et distances, puis par l'étude des suites et séries dans les espaces de Banach. On développe ensuite les notions de topologie indispensables à l'étude des fonctions continues et la dérivation des fonctions vectorielles d'une variable réelle, avec leurs applications à l'étude des suites et séries de fonctions. La notion d'intégrale sur un segment, introduite en première année, est ensuite complétée par l'étude de l'intégrale sur un intervalle quelconque, puis par l'étude des intégrales dépendant d'un paramètre, parmi lesquelles la fonction Gamma d'Euler. On présente ensuite les principaux exemples de séries de fonctions ce sont les séries entières, les séries trigonométriques et les séries de Fourier des fonctions périodiques dont l'usage est fréquent dans les différents domaines scientifiques. Les équations et systèmes différentiels, dont l'importance est centrale pour la modélisation des problèmes issus d'autres disciplines, sont traités de façon approfondie dans le cas linéaire, et on expose quelques résultats et exemples concernant le cas non linéaire. L'ouvrage s'achève par l'étude des fonctions différentiables, des notions de dérivée suivant un vecteur et de dérivées partielles dans une base. On en présente quelques applications aux problèmes d'extrema et d'équations aux dérivées partielles, et on donne quelques éléments concernant les formes différentielles, les intégrales curvilignes et les intégrales multiples.

Ce manuel présente la partie Algèbre des programmes 2004 des classes de spéciales MP/MP. Il s'adresse donc aux étudiants de ces classes ainsi qu'à ceux des premiers cycles scientifiques des universités. Il pourra aussi rendre service aux candidats aux concours de recrutement, CAPES et agrégations interne et externe. Ce livre est constitué d'un exposé du cours et de ses démonstrations; d'un grand nombre d'exemples détaillés, d'exercices corrigés et non corrigés. L'ouvrage se présente comme suit: au premier chapitre, on introduit les congruences et les anneaux Z/nZ. On approfondit au chapitre 2 les structures de groupes, en présentant la notion de groupe engendré par une famille d'éléments, et d'anneaux avec la notion d'idéal, ce qui permet de reprendre les principales notions d'arithmétique dans un anneau euclidien ou principal. Les chapitres 3 et 4 sont dédiés aux généralités d'algèbre linéaire et aux matrices: avant d'approfondir les résultats acquis en première année, nous n'avons pas hésité à reprendre un certain nombre de ceux-ci, d'une part pour faciliter la lecture de l'ouvrage qui se suffit ainsi à lui-même, d'autre part parce que l'expérience montre que ces notions sont loin d'être acquises par les étudiants à l'issue d'une seule année d'étude. Le chapitre 5 constitue alors le coeur du programme d'algèbre linéaire de spéciales, avec l'étude de la réduction des endomorphismes, ce qui suppose l'introduction des notions de sous-espaces stables, de valeurs et vecteurs propres, de diagonalisation et trigonalisation. Le chapitre 6 est consacré aux espaces préhilbertiens, avec la notion d'orthogonalité et l'étude des projections orthogonales, et le chapitre 7 aux espaces euclidiens avec l'étude des automorphismes orthogonaux, des endomorphismes symétriques et de leur réduction. Le chapitre 8 introduit les formes quadratiques, dans l'objectif de décrire les quadriques de l'espace affine euclidien de dimension 3. Cette première étude des quadriques conduit à présenter au chapitre 9 quelques notions sur les nappes paramétrées et les surfaces, qu'on illustre avec les nappes de révolution, les nappes cylindriques et coniques.