La construction des nombres. Histoire et épistémologie

Comment voit-on le monde avec des lunettes mathématiques ? C'est ce que Claude-Paul Bruter explique à propos des notions fondamentales de la discipline, du théorème de Thalès aux formes différentielles, en explorant les notions d'espace vectoriel et de courbure, le théorème des fonctions implicites et la caractéristique d'Euler-Poincaré, les différentes géométries et les surfaces topologiques. Conçu en partie pour les étudiants, cet ouvrage est accessible à tous les curieux des choses mathématiques. Claude-Paul Bruter est professeur de mathématiques, à l'université de Paris-XII-Créteil.

Destiné en priorité aux étudiants et aux enseignants des premières années universitaires, cet ouvrage retrace d'abord le long itinéraire suivi par la pensée scientifique au cours des âges dans la conception et dans la compréhension de la représentation par le nombre. Ce récit met notamment en lumière différents aspects de la sémantique du nombre : ils éclairent les raisons de sa présence et en justifient les différents usages. Le nombre, inconsciemment, s'imposa d'abord comme la représentation de la présence d'une quantité d'une forme d'énergie utile ou dangereuse, du travail accompli pour réaliser, à travers sa longueur, un trajet. Cet aspect cardinal du nombre reste prééminent dans son emploi. C'est avec Leibniz, plus tard au XIXe siècle que l'on a commencé à se pencher sur son aspect ordinal. C'est en ce dernier siècle également qu'est apparu, avec l'école anglaise, le rôle si important du nombre comme représentation du mouvement, mais, semble-t-il, ce n'est plutôt que récemment que ce rôle a été mis en avant, et mis au service d'une compréhension plus aboutie et d'une pédagogie plus efficace. La notation générale Cn=(P,SO(n+1))(n=0,1,...), associée à la description des propriétés internes des ensembles habituels de nombres, en donne une vision unifiée. Une dernière mention mérite d'être rapportée : celle du nombre en tant qu'opérateur, par exemple à travers les dilatations-homothéties et les similitudes. Plongeant leur introduction dans leur décor historique et humain, l'ouvrage suit le cours de l'évolution de la connaissance des propriétés des divers nombres, décrit avec complétude leurs différents procédés de construction, élargit l'un des théorèmes essentiels auquel on attribuait le qualificatif significatif de "fondamental". Le débat épistémologique et philosophique sur la notion de nombre reste ouvert.