Convexité dans le plan, dans l'espace et au delà. De la puissance et de la complexité d'une notion s

Ce livre est consacré à l'actualité de la géométrie élémentaire, actualité qui ne s'est pas démentie malgré l'apparition de domaines des mathématiques et de problèmes entièrement nouveaux. Car les idées géométriques irriguent toutes les mathématiques, et en retour certains problèmes de géométrie, élémentaires en apparence, n'ont pu être résolus que récemment, grâce à la découverte de notions nouvelles qui les ont éclairés. Ce sont ces notions nouvelles, souvent considérées comme très abstraites au moment de leur introduction, et bâties chacune " au-dessus " de la précédente, qu'illustre l'image des barreaux successifs de l'Échelle de Jacob, qui est le leitmotiv du livre. La liste des sujets abordés témoigne de l'immense culture géométrique de Marcel Berger : - points et droites dans le plan, pour lesquels se posent dès l'abord des problèmes élémentaires et difficiles ; - cercles et sphères ; - géométrie sur la sphère, où se pose le problème de la répartition la plus égale possible d'un nombre donné de points, problème important pour la technologie et la physique - comme beaucoup d'autres dans ce livre - et auquel la matière vivante apporte ses propres solutions ; - coniques et quadriques ; - courbes planes, dont la théorie topologique ne date que des années 1930, et n'est toujours pas achevée ; - surfaces lisses, autour de l'?uvre de Gauss et de ses prolongements modernes ; - convexité ; - polygones, polyèdres, polytopes ; - réseaux, empilements et pavages, des sujets qui intéressent autant théoriciens des nombres et géomètres que physiciens, chimistes et spécialistes du codage. - questions de dynamique enfin, qui marquent l'entrée du temps dans la géométrie, la fusion de la géométrie et de la mécanique : le problème des billards, et celui du mouvement libre sur une surface. On trouvera dans Géométrie vivante des centaines de figures, d'anecdotes, de notions et de définitions décortiquées et expliquées, beaucoup d'idées de démonstration, peu de démonstrations complètes. L'auteur renvoie pour les démonstrations les plus élémentaires à son livre Géométrie et pour les autres à la littérature scientifique, grâce à une bibliographie pratiquement exhaustive.

Actions de groupes ; espaces affines et projectifs ; espaces euclidiens, triangles, cercles et sphères ; convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aire et volume ; formes quadratiques, coniques, quadriques ; la sphère pour elle-même (géométrie sur la sphère, géométrie de l'inversion), géométrie hyperbolique, l'espace des sphères.

La Géométrie de Marcel Berger offre en deux volumes une présentation très lisible et facilement abordable des grands domaines de la géométrie classique : opérations de groupe et groupes cristallographiques, géométries affine, euclidienne, sphérique et hyperbolique, géométrie projective, géométrie des coniques et des quadriques, des cercles et des sphères, questions de convexité. L'exposé fait systématiquement appel au caractère visuel de la géométrie, et comporte un très grand nombre de figures qui viennent à l'appui du raisonnement géométrique. Une autre particularité de l'ouvrage est l'importance accordée au contexte, historique ou pratique, des notions introduites et des résultats obtenus, aux problèmes encore ouverts qui s'y rapportent, et aux liens qui existent avec la recherche moderne. On trouvera dans Géométrie bien plus que les définitions et les théorèmes fondamentaux, notamment des choses qu'on trouve difficilement ailleurs : théorème de Cauchy sur la non-flexibilité des polyèdres convexes, billard polygonal, cercles de Villarceau du tore, parallélisme de Clifford, théorèmes de Helly et Krasnoelskii en théorie de la convexité, simplicité du groupe orthogonal, etc., ainsi que des exposés complets de la géométrie elliptique et de la géométrie hyperbolique. Enfin, on notera que l'auteur a pris soin d'illustrer chaque notion par un résultat plaisant et d'énoncé facile, mais dont la démonstration peut emprunter des voies détournées, ce qui ravira l'amateur de géométrie.

Résumé : Principalement destiné aux niveaux master et doctorat de mathématiques, cet ouvrage de référence dépasse largement les fondements pour insister sur les applications plaisantes et spectaculaires de la géométrie différentielle. On y trouve ainsi le théorème d'Archimède sur les corps flottants, le volume des tubes, l'inégalité isopérimétrique, l'entrelacement de deux courbes, etc. L'ensemble des deux derniers chapitres présente un exposé culturel synthétique des faits fondamentaux ainsi que d'une partie fondamentale de la mathématique visible et utile, à savoir la théorie des surfaces de l'espace ambiant.