Introduction à Scilab. Exercices pratiques corrigés d'algèbre linéaire

Ce livre est issu d'un cours enseigné à l'École Polytechnique dont l'objectif, au delà de la présentation de l'analyse numérique et de l'optimisation, est d'introduire les étudiants au monde de la modélisation mathématique et de la simulation numérique. La modélisation et la simulation ont pris une importance considérable ces dernières décennies dans tous les domaines de la science et des applications industrielles (ou sciences de l'ingénieur). En effet, depuis leur apparition au lendemain de la seconde guerre mondiale les ordinateurs ont profondément transformé les mathématiques en en faisant une science expérimentale: on fait des "expériences numériques" (des calculs sur ordinateurs) comme d'autres font des expériences physiques. L'analyse numérique est justement la discipline qui conçoit et analyse les méthodes ou algorithmes de calcul. La simulation numérique permet aux mathématiciens de s'attaquer à des problèmes beaucoup plus complexes et concrets qu'auparavant, issus de motivations immédiates industrielles ou scientifiques, auxquels on peut apporter des réponses à la fois qualitatives mais aussi quantitatives: c'est la modélisation mathématique. Remarquons qu'à coté des champs d'applications traditionnels que sont la chimie, le mécanique et la physique se sont ouverts de nouvelles perspectives en biologie, environnement, finance, médecine et sciences sociales. Par ailleurs, l'ingénieur ou le scientifique qui a réussi à simuler numériquement son problème ne s'arrête pas en si bon chemin: il veut ensuite pouvoir intervenir sur certains paramètres pour améliorer ou optimiser le fonctionnement, le rendement, ou la réponse d'un système en maximisant (ou minimisant) des fonctions associées. C'est précisément le but de l'optimisation qui fournit des outils théoriques ou numériques pour ce faire. L'analyse numérique et l'optimisation sont donc deux outils essentiels et complémentaires de la modélisation mathématique. Des travaux pratiques de simulation numérique à l'aide des logiciels Scilab et FreeFem ++ accompagnent cet ouvrage et sont disponibles sur le site web http://www.cmap.polytechnique.fr/-allaire. Ce livre s'adresse en premier lieu aux étudiants des grandes écoles d'ingénieurs et des universités scientifiques en fin de licence ou première année de masters. Il peut par ailleurs permettre à des ingénieurs ou des chercheurs d'autres disciplines de se familiariser avec l'analyse numérique et l'optimisation. Biographie de l'auteur Grégoire Maire est professeur des universités et professeur à l'École Polytechnique. Ses travaux de recherche portent sur la modélisation mathématique et le calcul scientifique, en particulier pour l'optimisation de formes et pour les systèmes multi-échelles.

L'algèbre linéaire est un outil essentiel pour toutes les branches des mathématiques. En particulier, les mathématiques appliquées en font un grand usage lorsqu'il s'agit de calculer numériquement les solutions de nombreux problèmes ayant pour origine les sciences physiques ou mécaniques, l'économie, la chimie, les sciences du vivant, etc. L'objectif de ce cours de licence ou de premières années d'écoles d'ingénieurs est donc d'exposer l'algèbre linéaire numérique, c'est-à-dire la théorie et les algorithmes pratiques de résolution, à l'aide d'ordinateurs, de problèmes d'algèbre linéaire. Il s'agit principalement de résoudre des systèmes linéaires et de calculer les valeurs et vecteurs propres d'une matrice. L'originalité de ce cours est de proposer une approche expérimentale de l'algèbre linéaire : des exercices pratiques à effectuer sur un ordinateur accompagnent chaque chapitre. Ces exercices utilisent le logiciel de calcul numérique Scilab de l'INRIA qui facilite la programmation informatique des algorithmes étudiés.

Les modèles de transport ou de diffusion interviennent dans la description mathématique de nombreux systèmes physiques mettant en jeu l'interaction entre une assemblée de particules (neutrons dans un matériau fissile, photons dans une atmosphère planétaire ou stellaire...) ou une population d'organismes vivants et le milieu ambiant. L'objectif de ce livre est de présenter les modélisations cinétiques (notamment l'équation de Boltzmann linéaire), ainsi que les outils asymptotiques permettant de les relier aux modèles de diffusion (typiquement, à l'équation de la chaleur). Environ la moitié de l'exposé porte sur l'analyse numérique pour les deux modélisations, avec des applications à la notion de "taille (ou de masse) critique". Ce livre s'achève pu un chapitre sur la "méthode d'homogénéisation", qui fournit une modélisation efficace pour les problèmes de transport et de diffusion dans les milieux composites. Nous avons choisi dans cet ouvrage d'éviter autant que possible le recours à des théories mathématiques avancées (analyse fonctionnelle, formalisme des distributions, théorie spectrale en dimension infinie etc...) Chaque chapitre se termine pu des exercices illustrant les méthodes présentées dans le livre dans divers contextes applicatifs, ou proposant une ouverture vers d'autres aspects des équations de transport et de diffusion. Ce livre s'adresse principalement aux élèves des écoles d'ingénieurs ou aux étudiants de niveau Master souhaitant s'initier aux modèles cinétiques.