Classes caractéristiques en géométrie différentielle

La collection Mathématiques à l'Université se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence et de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des grandes écoles. Les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels, et de nombreux exercices corrigés. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur. Le sujet traité dans cet ouvrage, l'étude des classes caractéristiques en géométrie différentielle et de leurs résidus, qui conduit à des résultats profonds et spectaculaires, n'est en général abordé que dans des cours spécialisés de haut niveau. Les auteurs montrent que ce sujet peut avantageusement être abordé dès la troisième année d'études universitaires: le premier chapitre expose en effet un "exemple prototype", l'invariant d'Euler-Poincaré d'une surface compacte, facile à appréhender sans grandes connaissances préalables et dont l'intérêt est immédiatement perceptible. Avant d'aborder la généralisation pour laquelle cet exemple doit servir de guide, les auteurs donnent des exposés détaillés de la théorie des espaces fibrés et des connexions. Ces exposés, du niveau des études doctorales, ont un intérêt propre et sont susceptibles de rendre service à un public d'étudiants ou de chercheurs non-spécialistes, indépendamment de l'usage qui en est fait dans ce livre. De très nombreux exercices sont disséminés dans le texte, qui font partie intégrante de l'ouvrage: leurs résultats sont fréquemment utilisés par la suite. Dans un appendice, sont rappelés succinctement quelques-uns des outils utilisés au cours des précédents chapitres. Cet ouvrage rendra de très grands services, car il accompagnera son lecteur pendant plusieurs années, tout au long de ses études universitaires et au-delà.