Théorie des ensembles et logique mathématique. Des infinis mathématiques aux théorèmes de Gödel

Cet ouvrage traite de deux des domaines les plus célèbres des mathématiques : la théorie des ensembles et la logique. La théorie des ensembles, développée au XIXe et au XXe siècle, est en particulier une théorie mathématique de l'infini. A ce titre, elle présente souvent des résultats très étonnants. La logique a une histoire qui remonte à l'Antiquité, mais elle a été totalement renouvelée au XXe siècle par les très célèbres résultats de Kurt Gödel, en particulier par ses résultats d'incomplétude. Ces deux domaines ont de très nombreuses interactions. De plus, avec le développement spectaculaire de l'informatique actuelle, de nombreux résultats de ce livre prennent aussi une importance pratique, et plus seulement théorique. Quels sont les différents infinis en mathématiques ? Existe-t-il une infinité d'infinis différents ? Existe-t-il une différence fondamentale entre ce qui est vrai et ce qui est prouvable ? En mathématiques, exister signifie-t-il la même chose qu'être non contradictoire ? Peut-on fonder toutes les mathématiques à partir d'un petit nombre d'axiomes ? Existe-t-il un ensemble de tous les ensembles ? Peut-on créer un anti-virus informatique parfait ? Voici quelques-unes des questions qui seront abordées ici. Presque tous les résultats sont présentés avec leurs preuves et de nombreux exercices (corrigés à la fin du livre) sont également inclus.