L'initiation

Le but de cet ouvrage est de proposer aux élèves de Mathématiques Spéciales et de Licence 2ème année un livre de problèmes qui puisse les accompagner tout au long de l'année. On peut se demander si les très nombreux problèmes de concours qui sont produits chaque année ne sont pas suffisants. Ce n'est pas si évident : un problème de concours ne doit pas porter sur un seul point du programme et un bon problème de concours devra couvrir plusieurs chapitres, sans que cela se voie directement d'ailleurs. Les étudiants risquent donc d'avoir des difficultés pour trouver un problème qui leur permette de travailler le chapitre qu'ils viennent de voir en cours. Tous les professeurs ne traitent pas le programme dans le même ordre mais celui qui est suivi ici est assez standard et, mis à part ceux des deux derniers chapitres, les problèmes ne portent que sur un seul thème du programme. Une brève introduction placée en tête de chaque chapitre donne quelques conseils d'utilisation des problèmes qu'il contient, ainsi que des renseignements sur leur niveau. Les problèmes de ce recueil sont d'origines très diverses : beaucoup d'entre eux ont été faits à partir d'articles de revues, d'autres à partir de problèmes de concours, d'autres encore sont des compilations d'exercices. Les niveaux sont aussi très variés : certains problèmes sont très faciles, ce sont des applications directes du cours, pour en débuter l'étude. D'autres sont des compléments ou des prolongements du cours, en général de difficulté moyenne. On trouve enfin quelques problèmes difficiles voire (dans de rares cas) très difficiles, qui permettront aux meilleurs élèves de repousser leurs limites. Un accent particulier a été mis sur les problèmes portant sur un algorithme de calcul approché, qui peuvent être prolongés par des travaux dirigés d'informatique. La totalité de ces 38 problèmes a été proposée en temps libre en classe de Mathématiques spéciales P, et la rédaction de l'énoncé est en général faite de telle sorte que l'élève moyen puisse trouver, au besoin en y passant du temps ou en demandant quelques tuyaux à l'un de ses camarades ou au professeur. Le programme de spéciale a été en général respecté, et les solutions sont très détaillées, afin de constituer de véritables corrigés et non de vagues indications de solutions.

Cet ouvrage traite de la théorie des suites et séries de fonctions d'une variable réelle ou complexe. Il insiste en particulier sur les séries entières et les séries de Fourier. Il s'adresse essentiellement aux étudiants de Licence (L2, L3), des Classes Préparatoires aux Grandes Ecoles, ainsi qu'aux étudiants qui préparent le CAPES de Mathématiques. Il propose à la fois des rappels de cours et des exercices corrigés de façon particulièrement détaillée, classés par thème et par ordre de difficulté croissante. Le lecteur pourra ainsi progresser à son rythme et de façon autonome dans cette discipline. Les exercices proposés sont typiques des questions posées aux examens et aux concours.