TOPOLOGIE ELEMENTAIRE POUR LA LICENCE DE MATHEMATIQUES

La topologie est une discipline charnière pour les sciences fondamentales et appliquées. Ce livre, destiné aux étudiants de la licence de mathématiques ou en année de préparation pour les Grandes Ecoles, comporte six chapitres et présente les notions de base de la topologie avec quelques applications. L'approche pédagogique utilisée permet au lecteur de cerner assez rapidement et dans tous leurs contours les concepts exposés et de comprendre dès le début l'architecture des démonstrations des théorèmes et propositions. De nombreux exemples ainsi qu'une série d'exercices et problèmes en fin de chapitre offrent aux usagers des activités leur permettant de s'approprier les connaissances théoriques développées. Table des matières Avant-Propos 1 ESPACES METRIQUES ET TOPOLOGIQUES Espaces métriques Notion de distance Boules ouvertes, boules fermées, sphères Parties et applications bornées, diamètre Sous-espaces métriques Espaces topologiques Généralités Topologie des espaces métriques Topologie engendrée Base d'ouverts d'une topologie Voisinages, parties fermées Sous-espace topologiques Adhérence, intérieur, frontière Suites dans un espace métrique Valeurs d'adhérences et suites convergentes Suites de Cauchy Espaces métriques complets Applications continues Quelques propriétés générales Continuité uniforme Homéomorphismes Applications lipschitziennes Distances équivalentes Topologie produit Topologie quotient Série d'exercices sur le chapitre 1 2 ESPACES COMPACTS Espaces topologiques compacts Généralités Parties compactes Compacité et continuité Produit d'espaces compacts Espaces métriques compacts Précompacité Parties compactes de R' Compacité et continuité uniforme Série d'exercices sur le chapitre 2 3 ESPACES CONNEXES Espaces topologiques connexes Généralités Parties connexes Propriétés de stabilité Connexité et continuité Produit d'espaces connexes Composantes connexes Espaces métriques connexes Espaces métriques bien enchaînés Parties connexes de R Applications de la connexité Connexité par arcs Série d'exercices sur le chapitre 3 4 ESPACES VECTORIELS NORMES Norme sur un espace vectoriel Généralités Espaces de Banach Exemples d'espaces de Banach Applications linéaires continues Convergence dans L (E, F) Composition d'applications linéaires continues Isomorphismes d'espaces vectoriels normés Normes équivalentes Espaces vectoriels normés de dimension finie Série d'exercices sur le chapitre 4 5 ESPACES DE HILBERT Espaces préhilbertiens Formes hilbertiennes Projection orthogonale Projection sur un convexe complet Projection sur un sous-espace complet Dual topologique d'un espace de Hilbert Bases Hilbertiennes Méthode d'orthonormalisation de Gram-Schmidt Polynômes orthogonaux Série d'exercices sur le chapitre 5 6 ESPACES TOPOLOGIQUES PARTICULIERS Groupes topologiques Généralités Tores et