Introduction à la théorie de Galois

La théorie de Galois est née au XIXe siècle pour étudier l'existence de formules pour les solutions d'une équation polynomiale (en fonction des coefficients de l'équation). Cette théorie, à la fois puissante et élégante, fut à l'origine d'un pan entier de l'algèbre moderne, et a depuis connu un développement considérable. Elle demeure un sujet de recherche extrêmement actif. L'objet de ce cours est dans un premier temps d'introduire les bases et outils d'algèbre générale (groupes, anneaux, algèbres, quotients, extensions de corps...) qui permettront dans un deuxième temps de développer la théorie de Galois, ainsi que certaines de ses applications les plus remarquables. Au-delà de l'intérêt propre du sujet, le cours se veut être une bonne introduction à l'algèbre et à ses diverses applications, tant en mathématiques que dans d'autres disciplines (informatique avec les corps finis, physique ou chimie avec la théorie des groupes par exemple). Ainsi, aucun prérequis n'est nécessaire. Ce livre est issu d'un cours donné à l'Ecole polytechnique par le second auteur, puis par le premier. Un des points importants de ce cours est la méthode de réduction modulo p pour le calcul des groupes de Galois, traitée dans ce livre. Le livre contient également un recueil de sujets d'examen donnés aux élèves polytechniciens, accompagnés de leurs corrigés.