Petite introduction à l'algorithmique. A la découverte des mathématiques pas à pas

Découvrir l'arithmétique " s'adresse à l'étudiant entrant à l'université ou en classe préparatoire, voire à l'étudiant de lycée. Par l'importance de l'arithmétique et de son histoire, il est aussi destiné aux candidats des concours, avec une pensée particulière pour les candidats aux concours d'enseignement ; Découvrir l'arithmétique est né de notes de préparation à l'écrit du Capes et d'un cours d'arithmétique en première année donnés à l'université de Tours. " Découvrir l'arithmétique " couvre tout le programme de Théorie algébrique des nombres du premier cycle universitaire. A cela s'ajoutent une présentation de l'Analyse diophantienne par le biais de problèmes historiquement importants, complétée par une présentation du dixième problème de Hilbert et de sa solution négative par Matiyasevich, et deux applications contemporaines (le cryptage à clefs publiques et la reconnaissance syntaxique des nombres premiers). " OPUSCULES " se compose de petits ouvrages portant chacun sur des points des programmes de l'université. La collection vise la solidité du développement mathématique, en se souciant du développement historique des grandes idées, niveau par niveau, dans des opuscules de références autonomes. Elle se veut sobre, pertinente, destinée aux étudiants, aux candidats des concours et aux esprits curieux des mathématiques.

L'Arithmétique ou l'art de compter" propose de parcourir le chemin de pensée au long duquel s'élabore l'Arithmétique élémentaire. L'ouvrage commence par une réflexion sur les raisonnements par récurrence. On présente ensuite les théorèmes célèbres de Fermat et d'Euler, si importants en cryptographie. Puis on arrive aux contrées de Gauss, où l'on explique les congruences, pour arriver finalement à une hauteur d'où l'on aperçoit les régions actuelles de la cryptographie où vivent les chiffrements à clefs publiques que nous utilisons tous souvent sans le savoir.

Ce n'est que vers 1900 que les mathématiciens ont commencé à étudier solidement la notion de convexité, qui aujourd'hui diffuse dans de nombreuses branches des mathématiques et de leurs applications. Ces deux Opuscules prennent la convexité, les fonctions convexes et les ensembles convexes à leur départ, dans` la géométrie très visuelle du plan et de l'espace, et emmènent le lecteur jusqu'aux travaux les plus récents, même en grandes dimensions. Pour nous la convexité est une voie facile et peu ingrate de pénétrer dans la géométrie, qui reste une des trois branches fondamentales des mathématiques, alors qu'elle est dans une situation paradoxale dans l'enseignement (à tout le moins jusqu'au niveau Master). Elle a presque disparu de tous les programmes, y compris de l'agrégation, mais reste d'une nécessité vitale dans la vie moderne (vision et animation 3D, CAO, astronomie et astrophysique, biologie, robotique, GPS, etc.).

Ce n'est que vers 1900 que les mathématiciens ont commencé à étudier solidement la notion de convexité, qui aujourd'hui diffuse dans de nombreuses branches des mathématiques et de leurs applications. Ces deux Opuscules prennent la convexité, les fonctions convexes et les ensembles convexes à leur départ, dans la géométrie très visuelle du plan et de l'espace, et emmènent le lecteur jusqu'aux travaux les plus récents, même en grandes dimensions. Pour nous la convexité est une voie facile et peu ingrate de pénétrer dans la géométrie, qui reste une des trois branches fondamentales des mathématiques, alors qu'elle est dans une situation paradoxale dans l'enseignement (à tout le moins jusqu'au niveau Master). Elle a presque disparu de tous les programmes, y compris de l'agrégation, mais reste d'une nécessité vitale dans la vie moderne (vision et animation 3D, CAO, astronomie et astrophysique, biologie, robotique, GPS, etc.).