Principes variationnels & dynamique

L'optimisation sous contraintes fait partie de notre vie quotidienne à tous. En effet, vivre le mieux possible malgré les intérêts contradictoires, les désirs de chacun et les contingences matérielles, en fournit un exemple. Cette notion d'équilibre était chère aux penseurs du siècle des lumières. Une phrase de Montesquieu en illustre l'actualité : " Dans toute magistrature, il faut compenser la grandeur de la puissance par la brièveté de sa durée ". Mais le plus étonnant reste que toutes les lois de la nature sont, elles aussi, guidées par ce principe. On les exprime comme le résultat de l'optimisation de causes en conflit. Appelées principes variationnels ces formes se révèlent plus fécondes que la formulation première de ces lois. Dans l'époque moderne, l'idée en revient à Fermat qui, en 1661, démontra les lois de l'optique géométrique en posant que le chemin effectivement suivi par la lumière pour aller d'un point à un autre est celui le long duquel le temps est minimum ! Cette formulation explique notamment les mirages atmosphériques, alors que les lois de Descartes ne le peuvent pas. Aujourd'hui, l'observation de mirages gravitationnels nous renseigne de plus en plus abondamment sut l'état du cosmos dans sa prime jeunesse. Depuis lors, les principes variationnels sont devenus une pierre angulaire de la physique moderne. L'ambition de ce livre est d'en décrire quelques-uns et de montrer leur utilisation. Le cœur du livre est consacré à la mécanique analytique de Lagrange et Hamilton, bagage de fond de tout physicien. Nous donnerons aussi un avant-goût simple mais riche de la relativité générale d'Einstein, ainsi que de la mécanique quantique de Feynman, laquelle révèle d'étonnantes synthèses entre des domaines très différents.