Petit précis de géométrie à déguster

INTRODUCTION À LA GÉOMÉTRIELes mathématiques ont deux facettes, le discret et le continu. Les mathématiques discrètes traitent des quantités qui peuvent être comptées, les moutons, les spectateurs d'un match de football, les bouteilles. Le premier objet historique témoignant d'une énumération est l'os d'Ishango où les encoches semblent avoir été utilisées pour un calcul. Toutefois, tous les phénomènes ne peuvent pas être comptés: la boue, la bière et bien d'autres quantités sont continues et doivent être mesurées. La mesure est une manière d'attacher un nombre à ce qui ne peut être compté et la géométrie est née de la nécessité de telles mesures.Bien sûr les premières civilisations avaient certainement inventé des moyens pour échanger ou vendre des quantités continues comme l'huile d'olive ou le vin; toutefois le mot «géométrie» est apparu chez les fermiers du delta du Nil où l'inondation annuelle effaçait les marques indiquant les limites de propriété. Il fallait avoir recours à des méthodes nouvelles pour redélimiter les terrains et ainsi naquit la géométrie, littéralement «la mesure de la Terre».Les fondateurs de la géométrieLes mathématiciens grecs les plus célèbres sont probablement Pythagore et Euclide. Ils ne sont plus enseignés aujourd'hui, mais les «Éléments d'Euclide» feraient resurgir des souvenirs scolaires chez nos arrières grands-parents. Bien qu'Euclide soit souvent considéré comme le père de la géométrie, cette distinction revient en toute équité à Thaïes (640-546 av. J.-C.) qui étudia la géométrie trois siècles avant Euclide. Bien que nous n'ayons aucun document datant de l'époque de Thaïes, la tradition orale a transmis un bon nombre d'histoires: la plus célèbre est la méthode de calcul de la hauteur de la pyramide de Khéops, construite il y a environ 4600 ans.Nous ne connaissons pas dans le détail les méthodes géométriques utilisées par les Égyptiens pour construire les pyramides et la détermination de la hauteur totale d'une pyramide a longtemps été une énigme. Thaïes remarqua qu'à un certain moment du jour, la longueur de l'ombre d'un objet était égale à sa taille. A cette heure du jour (repérée par la position du Soleil dans le ciel), il mesure la longueur de l'ombre de la pyramide à partir de sa base. Puis il ajouta la moitié de la longueur de la base et détermina ainsi la hauteur de la pyramide.On attribue également à Thaïes la découverte que le diamètre d'un cercle coupe celui-ci en deux parties d'aires égales, et que dans un triangle isocèle (un triangle ayant deux côtés égaux) les angles opposés aux côtés égaux sont aussi égaux. Aujourd'hui, même quelqu'un qui éprouve une grande aversion pour les mathématiques ne serait pas tellement surpris par ces «découvertes»: elles lui sembleraient plus des remarques de bon sens que de puissants résultats mathématiques. Toutefois, du temps de Thaïes, ces avancées étaient remarquables dans la mesure où les conclusions de Thaïes portaient sur tous les cercles et tous les triangles isocèles. Cette généralisation déductive était un nouveau moyen de penser les mathématiques, un moyen détaché de toute considération pratique portant sur des cercles ou des triangles particuliers. Ainsi, Thaïes inventa un mode de raisonnement dont toutes les mathématiques modernes sont issues. Il transforma les mesures de la géométrie en l'étude des invariants: les propriétés des cercles ou des triangles isocèles qui ne dépendent pas de la taille de ces objets. Il existe une multitude de diamètres de cercles, mais ils découpent tous le cercle en deux parties égales.Toutes les branches de la géométrie utilisent de tels «invariants».